Програма роботи

1. За своїм варіантом завдання (табл. 1.1-1.3) дослідити на простій лінійній моделі динамічні режими генератора постійного струму.

1.1. Скласти математичні моделі генератора постійного струму згідно варіанту завдання для режимів:

1.1.1. Вільного ходу зі зміною напруги збудження.

1.1.2. Активного та активно-індуктивного змінного навантаження для номінальної напруги збудження.

1.1.3. Форсованого збудження генератора.

1.2. На основі отриманих в пп. 1.1.1 і 1.1.2 математичних моделей скласти цифрові (комп'ютерні) моделі (програми) з використанням методів:

· Ейлера (також відомий як явний метод Ейлера, метод Рунґе-Кутта першого порядку та явний метод Адамса першого порядку);

· трапецій (неявний метод Адамса другого порядку);

· Рунґе-Кутта четвертого порядку;

· із застосуванням аналітичного розв'язку.

1.3. За допомогою отриманих цифрових моделей дослідити вказані нижче режими.

1.3.1. Для режиму вільного ходу генератора отримати залежності вихідної ЕРС e_G (t) для стрибкоподібних змін напруги збудження U_d згідно рис. 1.1 і заданих початкових умов e_G0 (табл. 1.1) різними числовими методами та різними кроками інтегрування h, і порівняти з аналітичним розв'язком.

рис. 1.1. Графік зміни напруги збудження генератора

1.3.2. Дослідити динамічні режими зміни навантаження генератора з номінальним збудженням зміною опору навантаження R_н за графіком рис. 1.2 і отримати залежності струму якоря i_a (t) і напруги генератора u_G (t) для двох випадків:

· з врахуванням індуктивності якірного кола L_a = L_aG;

· без врахуванням індуктивності якірного кола (L_a = 0).

G

1) За результатами моделювання побудувати статичну характеристику генератора UG (Ia). 2) Дослідити точність і стійкість числового розв'язку в залежності від кроку числового інтегрування h для кожного числового методу. Початкове значення кроку h в дослідженнях брати в межах 0.2-0.3 від найменшої сталої часу моделі, а потім поступово збільшувати до моменту втрати числовим методом стійкості.

рис. 1.2. Залежність опору навантаження генератора R_н від часу

1.3.3. Для лінійної моделі та моделі з врахуванням кривої намагнічування дослідити процес зміни напруги генератора u_G (t) для режиму форсованого збудження з коефіцієнтом форсування K_ф і номінального навантаження R_н = R_ном, який реалізується шунтуванням додаткового опору R_дод в колі обмотки збудження генератора (ОЗГ) (рис. 1.3) з врахуванням індуктивності якірного кола L_a = L_aG.

Значення додаткового опору R_дод вибирається з умови забезпечення номінального струму збудження після закінчення форсування.

рис. 1.3. Схема для дослідження режиму форсованого збудження генератора постійного струму

2. Дослідити динамічні режими двигуна постійного струму незалежного і номінального збудження.

2.1. Скласти структурну та математичну модель двигуна постійного струму незалежного збудження.

2.2. На основі отриманої математичної моделі скласти цифрову (комп'ютерну) модель для дослідження режиму пуску двигуна для стрибкоподібних змін напруги U_a на якорі двигуна згідно рис. 1.4. Розрахувати залежності i_a (t) та w(t) для моменту навантаження M_c = 0,8 M_ном і нульових початкових умов (i_a (0) = 0, w(0) = 0) нехтуючи (L_a = 0) та враховуючи (L_a = L_aном) індуктивність якоря двигуна.

2.3. Розрахувати пускову діаграму для заданої варіантом кількості ступенів. Пуск двигуна виконати у функції часу, струму чи швидкості згідно свого варіанту завдання (табл. 1.2).

2.4. Згідно отриманих математичних моделей скласти цифрову модель для дослідження режиму реостатного пуску двигуна

0,25U_Я

0,5U_Я

(п. 2.3). Розрахувати залежності i_a (t) та w(t) для нульових початкових умов (i_a (0) = 0, w(0) = 0) і моменту навантаження M_с = 0,5 M_н з врахуванням індуктивності якоря двигуна (L_a = L_aн) та без неї (L_a = 0). Визначити величини усталеної швидкості w_с на природній характеристиці для M_с = 1,5 M_н і M_с = 0,5 M_н.

рис. 1.4. Графік зміни напруги на якорі двигуна (до п. 2.2)

2.5. Розрахувати характеристику гальмування (динамічного чи противмиканням – згідно варіанту) для умови I_a £ 2 I_aном і згідно отриманої в п. 2.1 математичної моделі скласти цифрову модель для дослідження цього режиму

0,25U_Я

0,5U_Я

. Розрахувати на цифровій моделі залежності i_a (t) та w(t) з індуктивністю якоря двигуна (L_a = L_aн) та без неї (L_a = 0) для моменту (активного чи реактивного – згідно варіанту) навантаження M_c = 0,5 M_н. Початкові умови – точка з координатами (I_c, w _c), де I_c = 0,5 I_aн.

3. Дослідити динамічні режими роботи двигуна постійного струму незалежного збудження за умови керування напругою якоря та магнітним потоком.

3.1. Скласти структурну та математичну моделі ДПС для регулювання швидкості зміною напруги на обмотці збудження з врахуванням і без врахування дії вихрових струмів.

3.2. За створеними математичними моделями розробити цифрові (комп'ютерні) моделі для дослідження динамічних режимів ДПС за умови керуванні напругою якоря та обмотки збудження.

3.3. Шляхом комп’ютерного симулювання отримати часові залежності координат електроприводу F(t), i_a (t), w(t) для зазначених на рис. 1.5 процесів зміни напруги якоря U_a (t) та збудження U_d (t) системи та навантаження M_c (t) за нульових початкових умов (значення t ₁, t ₂, t ₃ вибрати з умови завершення перехідних процесів), а t ₀ вибрати з умови досягнення потоком значення Ф = 0,809 Ф_н.

Варіанти 1-10

Варіанти 11-20

рис. 1.5. Графіки зміни напруги керування якоря двигуна (U_a) та обмотки збудження (U_d) і процес зміни моменту статичного навантаження (M_c)

4. Дослідити пуско-гальмівні режими двигуна послідовного збудження.

4.1. Розрахувати природну і реостатні характеристики двигуна послідовного збудження (ДПЗ) для режимів пуску і гальмування згідно варіанту завдання.

4.2. Скласти структурну і математичну моделі ДПЗ.

4.3. Розробити комп'ютерну модель для дослідження пуско-гальмівних режимів ДПЗ.

4.4. Шляхом комп'ютерного симулювання провести експерименти з розрахунку залежностей M (t), F(t), i_a (t) та w(t) для режимів пуску і гальмування.

4.5. Побудувати графіки отриманих залежностей та зробити висновки з отриманих результатів:

· про складність моделі;

· динамічні властивості досліджуваного ДПЗ.

i	Порада Дослідження в пп. 2-4 лабораторної роботи найзручніше виконувати в середовищі Simulink з використанням бібліотеки SimPowerSystems.

У звіті про виконану роботу подати:

· тему, мету та програму роботи;

· вихідні дані за варіантом завдання;

· структурні схеми та параметри моделі для кожного з досліджень;

· математичні моделі у вигляді систем диференціальних рівнянь, а для п. 1 також інтегральну функцію аналітичного розв’язку e_G (t);

· цифрові моделі (комп'ютерні реалізації) для розрахунку динамічних режимів;

· висновки стосовно впливу кроку розв'язування на поведінку використаних числових методів;

· розраховані статичні (природні та штучні) механічні характеристики двигуна;

· розрахунки пускової та гальмівної характеристик;

· отримані результати у вигляді таблиць і графіків;

· на графіку природної механічної характеристики двигуна для незалежного номінального збудження відкласти розраховані на цифровій моделі точки усталених режимів для M_c = 0,5 M_н та M_c = 1,5 M_н;

· на графіку природної механічної характеристики двигуна послідовного збудження відкласти розраховані на цифровій моделі точки усталених режимів для M_c = 0,3 M_н та M_c = 1,2 M_н;

· розгорнуті, обґрунтовані висновки про точність створених цифрових моделей та властивості використаних числових методів.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

G	Електрична машина серії П вибирається за номером свого варіанту з табл. 1.1 (непарні варіанти – активне навантаження в режимі двигуна, парні – реактивне). Врахувати, що для генераторів постійного струму номінальна напруга якоря вибирається зі стандартного ряду 115, 230, 460 В.

Таблиця 1.1

Технічні дані двигунів постійного струму з незалежним збудженням серії 2П

№	Тип	Pн	Uн	Iн	nн	nмакс.	h	Rя	RДП	RОЗД	Lя	JД
кВт	В	А	^об./хв.	^об./хв.		Ом	Ом	Ом	мГ	кг×м^2
	2ПН132L	8,5 8,5 14,0 14,0		46,00 22,86 74,00 36,78			0,84 0,845 0,86 0,865	0,167 0,67 0,08 0,322	0,124 0,445 0,066 0,27	20,6	3,5 1,8 7,0	0,048
	2ПО200L	7,1 7,1		78,24 38,65 57,80 86,82 43,41 121,2 60,27			0,825 0,835 0,865 0,89 0,89 0,90 0,905	0,055 0,22 0,125 0,055 0,22 0,031 0,125	0,037 0,15 0,08 0,037 0,15 0,037 0,15	23,7 23,7 23,7	2,4 9,4 5,3 2,4 9,4 1,3 5,3	0,3
	2ПФ200М			50,50 114,3 56,82 75,75 100,5			0,90 0,875 0,88 0,90 0,905	0,143 0,047 0,188 0,106 0,071	0,073 0,029 0,116 0,061 0,041	13,1	5,6 1,6 6,4 3,6 2,5	0,25
	2ПФ200L			166,3 82,64 106,1 154,1			0,82 0,825 0,855 0,885	0,031 0,125 0,083 0,031	0,02 0,08 0,053 0,02	10,6 31,7	1,2 4,6 3,2 1,2	0,3

Примітка: Значення опорів обмоток збудження R_ОЗД наведені для кожного типорозміру для номінальної на­пруги збудження 220 В.

Таблиця 1.2

Дані для дослідження динамічних режимів

Варіант	Ud 1	Ud 2	Ud 3	eG(0)	Kф
1, 5, 9, 13, 17	0,2Udн	0,8Udн	-0,7Udн		3,1
2, 6, 10, 14, 18	0,4Udн	Udн	-0,5Udн	0,1UGн
3, 7, 11, 15, 19	0,3Udн	0,9Udн	-0,5Udн	-0,1UGн	3,5
4, 8, 12, 16, 20	0,5Udн	Udн	-0,8Udн	0,25UGн	2,8

Таблиця 1.3

Дані для дослідження динамічних режимів

№ варіанту	К-сть ступенів пускового реостату	Пуск у функції	Спосіб гальмування	Момент навантаження
1.		струму	динамічне	активний
2.		швидкості	динамічне	реактивний
3.		часу	противмиканням	активний
4.		струму	противмиканням	реактивний
5.		швидкості	динамічне	активний
6.		часу	динамічне	реактивний
7.		струму	противмиканням	активний
8.		швидкості	динамічне самозбудження	реактивний
9.		часу	динамічне з незалежним збудження	активний
10.		струму	противмиканням	реактивний
11.		швидкості	динамічне з незалежним збудження	активний
12.		часу	противмиканням	реактивний
13.		струму	динамічне з незалежним збудження	активний
14.		швидкості	динамічне самозбудження	реактивний
15.		часу	противмиканням	активний
16.		швидкості	динамічне самозбудження	реактивний
17.		часу	противмиканням	активний
18.		струму	динамічне з незалежним збудження	реактивний
19.		швидкості	динамічне самозбудження	активний
20.		часу	противмиканням	реактивний

1. Аналітичне розв'язування диференціальних рівнянь

Структури систем електроприводів зручно зображувати з'єднанням окремих ланок, кожна з яких описана передатною функцією Лапласа. Такий опис зручний для аналізу режимів роботи системи, синтезу регуляторів, є наочним.

Передатні функції простих типових ланок відомі. Це дає можливість створювати математичні моделі систем як системи диференціальних рівнянь за відомими передатними функціями шляхом переходу від зображення до оригіналів нескладними перетвореннями. Таке перетворення дає можливість отримати аналітичний розв’язок диференціального рівняння лінійної системи за умови наявності прямого перетворення Лапласа вхідного сигналу x (t). Прикладом такого розв’я­зуван­ня є знаходження перехідної характеристики лінійної системи (реакції системи на одиничний стрибкоподібний сигнал, для якого перетворення Лапласа відоме: ). У цьому випадку використання доступних тепер засобів комп’ютерної аналітичної математики, наприклад, пакету MathCAD, дозволяє просто вирішити задачу знаходження часових залежностей.

Приклад: Знайти часову залежність вихідної ЕРС e_G (t) генератора постійного струму за умови подання номінального збудження для нульових початкових умов. Номінальна напруга збудження U_d = 110 В, стала часу кола збудження T_d = 0.85 с, коефіцієнт підсилення генератора за напругою K_G = 2,1.

MathCAD

Номінальна напруга збудження U_d:= 110 Стала часу кола збудження T_d:= 0.85 Коефіцієнт підсилення генератора K_G:= 2.1 Передатна функція генератора за напругою:   Відображення ЕРС за Лапласом для стрибкоподібного завдання збудження: Знаходимо оригінали засобами аналітичної математики пакету:   Будуємо часові залежності для t: = 0, 0.1.. 5

2. Числові методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь

Найпростішим і водночас найменш точним числовим методом розв’язування диференціальних рівнянь є метод Ейлера (Euler). Для лінійного диференціального рівняння першого порядку, яке записане у нормальній формі Коші з початковими умовами в рівновіддалених точках з кроком , наближені значення інтегральної функції його розв'язку послідовно обчислюються за формулою Ейлера:

; .

Точнішим і значно ефективнішим методом числового інтегрування є неявний метод трапецій:

.

Однією з найвідоміших є широко використовувана (у тому числі й в математичних пакетах) формула Рунґе-Кутта четвертого порядку, яку через популярність називають просто методом Рунґе-Кутта:

,

де ; ;

; .

Вибір кроку

Основним критерієм вибору величини кроку інтегрування є здатність відтворення досліджуваних процесів з мінімальними втратами часу і точності. У першу чергу це пов’язане з теоремою відліків, яка доводить, що для відтворення обмеженого частотою w_max спектру сигналу частота відліків w₀ повинна бути, принаймні, вдвічі вищою від максимальної частоти відтворюваного спектру w_max , тобто,

, де ; h – крок інтегрування.

Вважається [[1]], що задовільним є крок, який забезпечує передачу 90-95% енергії спектру вхідного сигналу. Відповідно, для моделювання повільних процесів достатнім є більший крок, а для швидкоплинних величину кроку інтегрування доводиться зменшувати. До речі, це ефективно здійснюється алгоритмами з автоматичним вибором кроку інтегрування, які широко використовуються сучасними математичними пакетами і програмами. Завдяки цій властивості (можливості пристосування (адаптації) кроку до поведінки координат досліджуваної моделі) найбільшого розповсюдження отримали саме алгоритми з автоматичним вибором кроку інтегрування, які складають основну частину сучасних процедур розв’я­зу­вання звичайних диференціальних рівнянь.

Іншим обмеженням на значення кроку інтегрування є стійкість використаного числового методу: для більшості формул числового інтегрування звичайних диференціальних рівнянь крок розв'язування h не повинен перевищувати величину (1...3) T _min, де T _min – найменша стала часу досліджуваної системи, інакше можливе виникнення числової нестійкості процесу інтегрування.

Попередній вибір величини фіксованого кроку розв’язування системи диференціальних рівнянь, що описують динаміку електроприводу, є порівняно простою задачею, загальні рекомендації є такими:

- для методів невисокого порядку (наприклад, формули Ейлера) значення кроку береться приблизно 10% – 20% значення найменшої сталої часу системи;

- для методів вищих порядків (наприклад, Рунґе-Кутта четвертого порядку) крок можна збільшити до 25% – 50% значення найменшої сталої часу.

Після попереднього вибору кроку інтегрування доцільно провести процедуру уточнення величини кроку для зменшення можливих похибок і підвищення ефективності роботи програми. Уточнення величини кроку можна зробити шляхом його збільшення і зменшення вдвічі: якщо процес стає нестійким чи вигляд процесу починає змінюватись (наприклад, зростає коливність розв’язку), крок зменшують.

Реалізація числових методів у математичних пакетах

Позитивною стороною використання математичних пакетів є наявність у них функцій, в яких вже реалізовані числові методи для розв’язування диференціальних рівнянь, що спрощує процес моделювання з використанням таких пакетів. Нижче подано коротку інформацію про такі реалізації (слід пам’ятати, що фірми-виробники математичних пакетів постійно працюють над їх вдосконаленням, тому в нових версіях можливі зміни і доповнення).

MathCAD

rkfixed – функція призначена для розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та системи з n диференціальних рівнянь за допомогою формули Рунґе-Кутта четвертого порядку з фіксованим кроком і є базовою в пакеті. Виклик функції:

rkfixed(y, Xmin, Xmax, Npoints, D), де

y – вектор початкових умов у точці Xmin розміром n;

Xmin, Xmax – початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування;

Npoints – бажана кількість точок розв’язку на інтервалі інтегрування, визначає 1+Npoints рядків результуючої матриці, яку повертає функція rkfixed; для стійкого розв’язку потрібно подбати, щоби значення кроку інтегрування не перевищувало значення найменшої сталої часу;

D – функція-вектор, що містить перші похідні шуканої функції, складається з n рядків;

rkfixed повертає результуючу матрицю (для прикладу назвемо її S), в якій:

(1) перший стовпець S^<0> містить значення аргументу в точках розв’яз­ку;

(2) наступні стовпці містять розв’язки за кожною змінною: наприклад, перший стовпець S^<1> містить (1+Npoints)-елементний вектор роз­в’яз­ку першої змінної, S^<2> – вектор роз­в’яз­ку другої змінної і т.д., відповідно, S^<n> містить вектор роз­в’яз­ку n -ої змінної.

Rkadapt – функція для розв’язування нежорстких систем з розв’язком, який змінюється повільно (є досить універсальною, тому її можна використовувати у багатьох випадках), використовує алгоритм з автоматичним вибором кроку інтегрування на основі формули Рунґе-Кутта четвертого порядку, але результат подається у рівновіддалених точках (як у rkfixed); функція викликається аналогічно.

Bulstoer – реалізація методу Булірш-Штура (Bulirsch-Stoer) для розв’язування гладких функцій, для яких є дещо точнішою, ніж метод Рунґе-Кутта, що реалізований в rkfixed; викликається так само, як і попередні функції.

Stiffb – функція для розв’язування системи жорстких диференціальних рівнянь, застосовує метод Булірш-Штура.

Stiffr – функція для розв’язування системи жорстких диференціальних рівнянь, застосовує метод Розенброка (Rosenbrock); обидві функції викликаються подібно:

Stiffb(y, Xmin, Xmax, Npoints, D, J)

Stiffr(y, Xmin, Xmax, Npoints, D, J), де

J – функція, що повертає матрицю розміром n ´(n +1), в якій перший стовпець містить похідні, а наступні стовпці складають матрицю Якобі системи диференціальних рівнянь.

Використання функцій розв’язування системи диференціальних рівнянь пакету Math­CAD показано на при­к­ладі: задано систему ди­фе­рен­ці­аль­­них рівнянь, що описує пуск двигуна постійного струму зі сталим потоком збуд­жен­ня.

Для розв’язування цієї системи використовується поданий нижче документ MathCAD.

MathCAD

N: = 100 кількість точок розв’язку t_min : = 0 t_max : = 1 межі (діапазон) інтегрування y₀ : = 0 y₁ : = 0 початкові умови Задаємо параметри двигуна: Ta: = 0.05 Стала часу якірного кола Ua: = 50 Напруга на якорі C: = 2.5 Стала двигуна Ra: = 0.1 Опір якірного кола J: = 2 Момент інерції приводу Ic: = 0 Статичний струм задаємо функцію-вектор для обчислення похідних Отримуємо розв’язок і виводимо на графік: S: = rkfixed(y, t_min , t_max , N, DiffEq) (Для наочності масштаб швидкості w збільшено у 10 разів)

У випадку наявності версії не нижче MathCAD 11 можливий варіант документа зі зрозумілішою формою запису системи диференціальних рівнянь із застосуванням конструкції Given … Odesolve. У цьому випадку тип числового методу (" розв'язувача ") вибирається клацанням правої кнопки мишки на ключовому слові Odesolve.

MathCAD

h: = 0.005 Крок розв’язку t_min : = 0 t_max : = 1 Межі (діапазон) інтегрування Ia₀ : = 0 w₀: = 0 Початкові умови Задаємо параметри двигуна: Ta: = 0.05 Стала часу якірного кола Ua: = 50 Напруга на якорі C: = 2.5 Стала двигуна Ra: = 0.1 Опір якірного кола J: = 2 Момент інерції приводу Ic: = 0 Статичний струм Задаємо систему диференціальних рівнянь Given ═ ═ (Ia(t) – Ic)×C Ia(0) ═ 0 w(0) ═ 0 Отримуємо розв’язок і виводимо на графік: t: = t_min, t_min + h.. t_max (Для наочності масштаб швидкості w збільшено у 10 разів)

MATLAB + Simulink

У пакеті Simulink середовища MATLAB реалізовано досить широкий вибір числових методів для розв'язування звичайних диференціальних рівнянь:

ode23 – реалізація однокрокової формули Богацкі-Шемпайна (Bogacki-Shampine) порядку 2(3) з автоматичним вибором кроку інтегрування. Дану функцію можна рекомендувати як стандартну для моделювання електроприводів, автори пакету MATLAB рекомендують її як ефективнішу за ode45 для невисокої точності та для слабожорстких систем.

ode45 – реалізація формули Дормана-Прінса порядку 5(4) з автоматичним вибором кроку інтегрування. Рекомендується авторами пакету як універсальний метод, який може застосовуватися у першій спробі під час розв’язування системи диференціальних рівнянь, особливо ефективний для високої точності (10-6 і вище).

ode113 – реалізує метод "прогноз-корекція" за формулами Адамса-Бешфорта-Малтона 1-13 порядків з автоматичним вибором порядку методу і кроку інтегрування і, напевно, є одним з найкращих засобів для розв’язування нежорстких систем диференціальних рівнянь, особливо для моделей з нелінійностями. Рекомендоване значення точності – не нижче 10^-4. Дана функція особливо ефективна для складних моделей, що вимагають значного часу обчислень.

ode23s – реалізує модифікований метод Розенброка (Rosenbrock) другого порядку для жорстких систем диференціальних рівнянь. Рекомендується для невисокої точності. Може застосовуватися для ряду жорстких задач, для яких функція ode15s не є ефективною.

ode15s – універсальна функція, що реалізує два методи розв’язування жорстких систем диференціальних рівнянь з автоматичним вибором кроку розв’язування:

1) на основі формул диференціювання назад (ФДН) порядку 1-5;

2) на основі родини формул числового диференціювання, запропонованих Клопфенштайном (Klopfenstein) і Райхером (Reiher) порядку 1-5, дещо ефективніших за ФДН.

ode23t – функція базується на методі трапецій і призначена для систем зі середньою жорсткістю і ефективна для невисокої точності розв’язку.

ode23tb – реалізує метод TR-BDF2, що подібний до методу Рунґе-Кутта, в якому на першому кроці застосовується формула трапецій, а на другому – формула диференціювання назад другого порядку, ефективна для невисокої точності.

Для вибору числового методу в меню вікна моделі послідовно вибираються пункти Simulation Þ Simulation Parameters (або просто Ctrl + E). Для більшості моделей, які побудовані з використанням блоків Simulink, найкращим вибором будуть функції ode23 і ode113. У випадку використання блоків з бібліотеки SimPowerSystems може бути доцільним (особливо, за наявності елементів силової напівпровідникової техніки – тиристорів і силових транзисторів) використання спеціальних методів для жорстких нелінійних систем ode23tb і ode15s. Попередній приклад простої моделі двигуна, виконаний в середовищі MathCAD, виглядає наочніше з використанням бібліотеки SimPowerSystems, як показано нижче.

Simulink + SimPowerSystems

3. Моделювання елементів електроприводів різницевими рівняннями

Аперіодична ланка описується диференціальним рівнянням першого порядку

або ,

де T – стала часу ланки;

k – коефіцієнт підсилення ланки;

x – вхідний сигнал.

З використанням для інтегрування явної формули Ейлера першого порядку

підставляючи значення похідної у формулу числового методу отримаємо

,

звідки .

Аналогічно, з використанням для інтегрування неявної формули Адамса другого порядку, яка є однією з найкращих формул для цієї мети завдяки своїй простоті та числовій стійкості,

отримаємо

,

звідки після спрощень матимемо

.

Потрібно відзначити, що використання неявних числових методів не тільки не ускладнює задачу, а й призводить до отримання рекурентних рівнянь з вищими стійкістю та точністю порівняно з використанням явних методів.

До п. 1.2.

Приклад розв'язування задачі з використанням методу Ейлера для дослідження режимів зміни навантаження генератора постійного струму подано нижче для середовища MathCAD.

MathCAD

U_nom: = 230 Номінальна напруга на якорі генератора U_d: = 220 Номінальна напруга збудження генератора K_G: = 1.045 Коефіцієнт підсилення генератора T_d: = 0.8 Стала часу збудження генератора R_a: = 0.27 Опір якоря генератора L_a: = 0.0035 Індуктивність якоря генератора R_nom: = 5.1 Опір номінального навантаження L_a: = 0.0035 Індуктивність якоря генератора h: = 0.001 Крок моделювання T_max: = 0.06 Тривалість перехідного процесу Кількість точок перехідного процесу i: = 0.. N t_i: = i×h Значення часу Початкові умови: Залежність опору навантаження від часу:   Залежність електромагнітної сталої часу якірного кола від опору навантаження: Знаходження значень напруги і струму якоря за формулою Ейлера Виведення графіка струму в навантаженні

4. Модель генератора постійного струму

Опис кола збудження є однаковим як для генератора постійного струму (ГПС), так і для двигуна постійного струму (ДПС), що працює зі змінним потоком.

Очевидним є те, що змоделювати, тобто, відтворити в моделі ті динамічні процеси, які відбуваються в оригіналі, наприклад, генераторі постійного струму, абсолютно точно неможливо. Мову можемо вести тільки про наближення, про отримання результатів моделювання з деякою точністю, яка значною мірою визначається допущеннями, які ми приймаємо, створюючи модель. Так, генератор постійного струму в неробочому режимі, коли якірне коло розімкнене, з достатньою для багатьох застосувань точністю можна розглядати як аперіодичну ланку першого порядку за таких допущень:

· не враховуємо нелінійність кривої намагнічування;

· нехтуємо вихровими струмами в станині (це цілком справедливо для генераторів зі шихтованою станиною);

· потоки розсіювання обмотки збудження генератора (ОЗГ) пропорційні струмові збудження.

а) електрична схема	б) структурна модель

рис. 1.6. Коло збудження ГПС

У випадку врахування навантаження (замкнуте якірне коло) приймаються додаткові допущення:

· індуктивність якоря незмінна;

· трансформаторною ЕРС у колі якоря нехтуємо;

· величина дії реакції якоря в залежності від точності моделі або не враховується, або приймається пропорційною струмові якоря.

Найпростіша математична модель ГПС базується на рівнянні електричної рівноваги кола збудження

та рівнянні ,

де U_d – напруга збудження генератора;

i_d – струм кола збудження генератора;

R_d – опір обмотки збудження генератора (ОЗГ);

L_d = L _m + L_s – індуктивність ОЗГ, яка має дві складові:

L _m – індуктивність намагнічування;

L_s – індуктивність розсіювання;

e_G – електрорушійна сила (ЕРС) якоря генератора;

K_G – коефіцієнт підсилення генератора за напругою.

Виконаємо нескладні перетворення диференціального рівняння, помноживши його на K_G , а останній член – на , після чого отримаємо

.

Позначивши – електромагнітна стала часу ОЗГ і , отримаємо

.

Це є спрощена математична модель генератора постійного струму, що описує перехідні процеси генератора без навантаження (режими неробочого ходу).

Для активного навантаження (рис. 1.7) L_a + L_н = 0, тому струм якоря i_a обчислюється за виразом ,

де R_{a S} = R_a + R_н – сумарний опір якірного кола;

R_a – опір якоря ГПС;

R_н – опір навантаження в якірному колі

а) електрична схема	б) структурна модель

рис. 1.7. Генератор постійного струму

З урахуванням індуктивностей обмотки якоря L_a і навантаження L_н до диференціального рівняння опису кола ОЗГ додається ще одне: (див. рис. 1.7). Поділивши це рівняння на R_aS і позначивши – електромагнітна стала часу якірного кола, отримаємо диференціальне рівняння якірного кола, яке разом з рівнянням кола збудження є математичною моделлю ГПС:

Значення індуктивності намагнічування ОЗГ L _m та індуктивності обмотки якоря L_a машини постійного струму (якщо ці дані відсутні в каталозі) можна розрахувати за формулами:

і ,

де p_п – число пар полюсів;

W_p – число витків одного полюса ОЗГ;

F – магнітний потік одного полюса ОЗГ;

F – ампер-витки ОЗГ;

k – емпіричний коефіцієнт:

k = 0,6 для некомпенсованих машин;

k = 0,15 для компенсованих машин;

w _н – номінальна частота обертання якоря генератора.

Значення індуктивності розсіювання обмотки збудження L_s машини постійного струму можна знайти за наближеною формулою , де s – коефіцієнт розсіювання, приблизно дорівнює 0,1... 0,2 (для потужніших машин – менше значення), а точніше обчислюється за формулою

,

де d – повітряний проміжок під полюсом у сантиметрах;

D – діаметр якоря у сантиметрах;

l – довжина якоря у сантиметрах.

Точнішу модель генератора, що враховує нелінійність кривої намагнічування, можна отримати за умови апроксимації характеристики намагнічування функцією арктангенса [[2]]:

У цьому випадку для отримання вищої точності в моделі генератора залежність e_G (i_d) апроксимується залежністю , де A, B – коефіцієнти апроксимації. Коефіцієнти апроксимації для першого наближення вибираються таким чином: A = E_Gн, тоді , звідки , після чого можливе їх уточнення ітераційним чи якимось іншим методом (для цього дуже зручно використовувати математичний пакет MathCAD). Така апроксимація є простою і, в той же час, забезпечує похибку не гірше (1-2)%, а за плавністю та точністю відтворення похідної має переваги перед іншими, наприклад, поліноміальними.

Реалізований в пакеті MathCAD приклад знаходження апроксимаційної залежності для напруги і ампер-витків обмотки збудження генератора подано нижче.

MathCAD

N: = 6 Кількість точок робочої характеристики i: = 0.. N Побудова графіка апроксимаційної кривої та експериментальних точок

За відсутності даних про криву намагнічування у технічному паспорті генератора, можна скористатися універсальною кривою намагнічування [[3]] (рис. 1.8), якій відповідають коефіцієнти апроксимації A = 0,858 і B = 2,351, тобто, вихідна напруга генератора буде апроксимуватися залежністю .

рис. 1.8. Універсальна крива намагнічування

Практичне застосування знайшла також й інтерполяція кривої намагнічування сплайнами [[4], [5], [6]], що також відповідає вимогам точності та гладкості, але потребує відповідного програмного забезпечення для реалізації цього підходу. Засоби апроксимації сплайнами реалізовані у математичних пакетах MathCAD і MATLAB і можуть доволі просто використовуватися [4, [7], [8], [9], [10]]. Обидва способи наближення кривої намагнічування практично рівноцінні щодо точності та витрат комп’ютерного часу.

Підвищити точність відтворення реальних процесів у колі збудження генератора постійного струму з масивною станиною можна, якщо врахувати розмагнічувальну дію вихрових струмів у станині [[11], [12]]. Для цього в електричну схему моделі кола збудження вводиться додатковий контур R_k – L _m , що імітує дію вихрових струмів (рис. 1.9, а). Ввівши позначення T_k = L _m / R_k (стала часу контуру вихрових струмів), T _m = L _m / R_d , T_s = L_s / R_d можна побудувати структурну схему, показану на рис. 1.9, б.

	або
а) електрична схема	б) структурна модель

рис. 1.9. Схема і структурна модель генератора постійного струму
з врахуванням контуру вихрових струмів

Така модель описується системою диференціальних і алгебричних рівнянь:

або

де i _m– струм намагнічування;

i_k – струм контуру імітації вихрових струмів,

звідки можна отримати вирази в операторній формі для струмів збудження та намагнічування:

;

.

Для більшості генераторів постійного струму з масивною станиною стала часу еквівалентного контуру вихрових струмів T_k складає 15%... 30% від сталої часу обмотки збудження T_G. Точніше значення сталої часу T_k знаходиться за емпіричною формулою [12]:

;

де l_j – довжина силової лінії у спинці між полюсами у сантиметрах;

a, b – товщина і довжина спинки станини у сантиметрах;

k _r = 2×10⁴ (для сталі).

Збільшення швидкодії систем з великими сталими часу, наприклад, обмоткою збудження, досягається шляхом використання форсованого режиму – перевищенням напруги збудження U_d номінальної величини в декілька разів. У цьому разі після досягнення номінального режиму e_G = U_ном напругу збудження потрібно повернути назад до номінального значення, щоб уникнути аварійних режимів. Приклад найпростішої реалізації з використанням реле напруги для генератора постійного струму показано на рис. 1.3. Для такої схеми величина додаткового опору R_дод вибирається з умови забезпечення номінального струму збудження після виходу на номінальний режим і обчислюється просто, виходячи із залежностей

– для номінального режиму;

– для режиму форсування;

звідси , де K_f – коефіцієнт форсування напруги збудження.

До п. 1.3.3.

Приклад розв'язування задачі з використанням методу Ейлера (див. стор. 16) для дослідження режиму форсованого пуску генератора постійного струму на неробочому ході (без врахування навантаження в колі якоря) подано нижче для середовища MathCAD.

MathCAD

U_nom: = 230 Номінальна напруга на якорі генератора U_d: = 220 Номінальна напруга збудження генератора K_G: = 1.045 Коефіцієнт підсилення генератора L_d: = 0.8 Індуктивність обмотки збудження генератора R_d: = 82 Опір обмотки збудження генератора K_f: = 2.5 Коефіцієнт форсування h: = 0.001 Крок моделювання T_max: = 0.5 Тривалість перехідного процесу Кількість точок перехідного процесу i: = 0.. N t₀: = 0 Значення часу t_i+1: = h×(i + 1) Залежність додаткового опору від ЕРС генератора (імітація реле напруги): Залежність сталої часу обмотки збудження від додаткового опору: Знаходження ЕРС генератора під час форсованого пуску за формулою Ейлера: Виведення графіка ЕРС

5. Моделювання двигуна постійного струму незалежного збудження

Найчастіше для розрахунків динаміки електроприводів використовується спрощена модель двигуна постійного струму (ДПС) рис. 1.10, що справедлива за таких допущень:

· потік збудження постійний і номінальний;

· індуктивність якірного кола незмінна (включає індуктивності якоря L_a, обмотки додаткових полюсів – ОДП і компенсаційної обмотки – КО);

· реакція якоря відсутня.

рис. 1.10. Двигун постійного струму незалежного збудження
з номінальним магнітним потоком

Для постійного і номінального збудження математичною моделлю двигуна є система диференціальних рівнянь:

де – конструктивний коефіцієнт двигуна;

U_a – напруга на якорі двигуна;

w – кутова швидкість валу двигуна;

M – момент на валі двигуна;

M_c – момент статичного навантаження на валі двигуна;

J – момент інерції якоря двигуна.

За відсутності даних для обчислення F _н і k можна скористатися виразом .

Можлива інша форма запису математичної моделі ДПС. Поділимо диференціальне рівняння для струму якоря на опір R_a та позначимо – електромагнітна стала часу якірного кола. Тоді математичною моделлю ДПС будуть рівняння:

Позначимо , де – електромеханічна стала часу двигуна. Враховуючи, що M = i_aC і M_c = I_cС, отримаємо дещо іншу математичну модель:

Отриманим математичним моделям відповідають структурні моделі, які показані на рис. 1.11 (а) і (б) відповідно.

а)	б)

рис. 1.11. Структурні моделі ДПС для постійного номінального потоку

У випадку нехтування індуктивністю якірного кола (L_a = 0) отримаємо математичну модель, де замість першого диференціального рівняння, яке описує процеси в якірному колі, матимемо відповідне алгебричне рівняння:

Одержаним математичним моделям відповідають структурні моделі, які показані на рис. 1.12 (а) і (б) відповідно.

а)	б)

рис. 1.12. Структурні моделі ДПС для постійного номінального потоку без врахування індуктивності якірного кола

До п. 2.3

Для виконання даного пункту нижче пропонується варіант розрахунку пускової характеристики у середовищі MathCAD.

MathCAD

До п. 2.

Нижче пропонуються варіанти реалізації у різних середовищах моделі двигуна постійного струму незалежного збудження з врахуванням індуктивності якірного кола двигуна.

MathCAD

або варіант для версій MathCAD 11 і вище з використанням Odesolve (див. стор. 13) Given ═ ═ 0 ═ ═ 0

Simulink

Дата добавления: 2015-11-14