Задача производителя

1.1. Постановка задачи фирмы.

Пусть P-вектор цен, если T=(X,Y)-технология, где X-затраты, Y- выпуск, то скалярное произведение векторов P*T= Px*X+Py*Y есть прибыль от использования технологии T (все компоненты вектора X: xi<0).

Аксиома производителя: производитель выбирает технологию T из своего производств-го мн-ва t, стремясь максимиз-ть прибыль – > max (1.1)

По опред-ю компонента Y (объем выпуска) для решения T, такого, что удовл. условие (1.1), будет лежать на кривой производственных возможностей.

Выпуск фирмы Y можно охарак-ть:

1) Либо объемом выпуска, ели выпускается 1 товар (наш случай).

2) Либо суммарной стоимостью выпуска, если товаров много.

В нашем случае затраты X однозначно определяют Y посредством производственной ф-ии Y=f(X), где X=(X1,…,Xn).

Пусть n - это цена единицы выпускаемой продукции. Тогда, W-прибыль есть ф-я от X и n.

При постоянном n прибыль W есть функция только от X. Тогда в этом случае можно записать: W(X)= n*Y-P*X=n*f(X)-P*X

Определяем задачу фирмы: W(X)= n*f(X)-P*X – > max, при X>=0.

1.2. Решение задачи фирмы.

Исходя из условий экстремума, приравниваем частные производные W к 0. Исходя из этого, получим (1.2) или в векторном виде:

.

Для простоты будем считать, что всякий xi>0, т. к. нулевые затраты можно просто исключить из рассмотрения. Тогда точка , удовлетворяющая соотношению (1.2), является точкой экстремума. а поскольку имеет место отрицательная определенность матрицы Гессе, т. е. вторые производные предполагаются <0. ,то выполняется условие максимума (у min вторая производная >0).

Оптимальный выпуск продукции, соответствующий найденной оптимальной точке имеет вид: . Точка или называется оптимальным решением задачи фирмы.

1.3. Экономический смысл решения задачи фирмы.

Поясним экон. смысл соотношения (1.2). Ранее определялись - вектор предельных продуктов, где отдельная частная производная - это i-й предельный продукт или отклик выпуска на изменение i-го товара – затрат (или ресурсов).

Тогда, - это стоимость i-го предельного продукта дополнительно получаемого из кол-ва единиц i-го ресурса.

Стоимость доп. привлекаемых ресурсов есть величина (1.3). Умножив левую и правую часть выраж-я (1.2), задающего оптимальный объем выпуска, на , имеем: (1.4).

Вывод: в точке оптимума стоимость затрат (выраж. (1.3)) равна стоимости приращения продукции (выраж. (1.4)). В данной точке мы не получим никакого выиграша от увеличения затрат по i-му ресурсу на величину .

Соотношение (1.2) задает точку равновесия. В данной точке нельзя извлечь из товаров-ресурсов больше, чем было потрачено на их покупку. Т. е. наращивании е объемов произв-ва при увеличении ресурсов идет до тех пор, пока не начнет выполн-ся соотнош-е (1.2).

Дата добавления: 2015-11-16