Читайте также:
|
Опр Сеткой с шагом 
и узлами 
называется разбиение отрезка 
точками 
. Сеточной функцией называется функция, определенная в узлах 
.
Пусть правая часть ОДУ 
имеет непрерывные частные производные в точке 
. Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки для решения 
задача Коши: 
, имеем
.
Последнее равенство подводит к такому определению.
Опр Методом Эйлера приближенного решения задачи Коши на сетке 
называется нахождение сеточной функции 
по формулам
.
ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешностьметода Эйлера – это погрешность на одном шаге, и она равна, как следует из формулы Тейлора, 
. Глобальная погрешность – это величина 
. Для метода Эйлера она равна 
.
Опр Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши 
на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам
, где 
, 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге равна 
. Глобальная погрешность равна 
.
КПР Задачу Коши 
можно решить приближенно методом Рунге-Кутта на любом отрезке 
. Однако точное решение единственно и имеет вид 
. Это видимое противоречие объясняется тем, что при определении глобальной оценки предполагается существование решения на всем отрезке, что в данном случае имеет место только на 
. Известны результаты, позволяющие определить характер точного решения по поведению приближенного.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Методы Эйлера и Рунге-Кутта имеют место и для НСОДУ.
Пример Для задачи Коши 
формула метода Рунге-Кутта имеет вид 
, где
.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 41 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений | | | Функциональные преобразователи и схемы |