Читайте также:
|
|
Интегрируемые ОДУ первого и второго порядков
ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:
,
.
_____
Опр Функция называется однородной функцией степени
, если
.
Пример -однородная функция нулевой степени;
- однородная
функция степени .
Опр ОДУ вида или вида
называется однородным, если соответственно
- однородная функция нулевой степени,
- однородные функции одинаковой степени.
ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен ными, если зависимую переменную заменить на
по формуле
.
_____
Опр ОДУ вида , где функции
заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если
и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.
ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными .
.
2) Решение исходного уравнения ищем в виде
, считая в предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от
(говорят: варьируя произвольную постоянную
). Для нахождения
подставим это решение в
исходное уравнение: . После сокращения получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения
.
Пример Пусть в фильтре нижних частот входное напряжение изменяется по синусоидальному закону: . Тогда уравнение фильтра нижних частот имеет вид
. Так как решение соответствующего однородного уравнения равно
, то частное решение ищем в виде.
находим из уравнения с разделяющимися переменными
где
. Тогда падение напряжения на конденсаторе изменяется по закону
.
С течением времени второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому будет меняться периодически. Его амплитуда
, очевидно, мала
для больших (верхних) значений частот
, что и объясняет название фильтра.
____
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению ОДУ первого порядка
с помощью замены
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению
ОДУ первого порядка с помощью замены на зависимую переменную
.
Первое очевидное. Докажем второе. .
Пример (Уравнение колебаний математического маятника).
Материальная точка массы
подвешена на нерастяжимой нити длины
. На неё действуют две силы: вертикальная сила тяжести
и сила реакции нити. Запишем закон колебаний маятника в виде
,
где - угол его отклонения от положения равновесия в момент времени. Равнодействующая этих сил направлена по касательной к маятнику и потому второй закон Ньютона для него имеет вид
Продифференцируем первую систему два раза
.
И мы вывели уравнение колебаний математического маятника
Это ОДУ второго порядка. Понизим его порядок с помощью замены
.
В крайнем левом положении маятника по физическому смыслу имеем
.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 44 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Аналитическая часть. | | | Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений |