Ортогональные системы функций и ряды Фурье

Опр Бесконечная последовательность элементов евклидова пространства называется ортогональной, если ее элементы попарно ортогональны: , и ортонормированной, если дополнительно эти элементы нормированным: , то есть .

Обозначение - пространство функций имеющих разрывы первого рода на отрезке и правые и левые производные в каждой точке непрерывности.

- скалярное произведение в .

Пр 1 Последовательность ортонормирована в пространстве , а в последовательность ортогональна в

.

◄ Например, при

.►

Обозначение - формула Эйлера (короткое обозначение комплексного числа вида . - сопряженное к комплексному числу .

Пр 2 Последовательность функций , ортонормированна относительно скалярного произведения на множестве комплекснозначных функций .

Опр Пусть -ортогональная последовательность в евклидовом пространстве . Числа , называются коэффициентами Фурье элемента по системе . Сумма называется -ой частичной суммой, а ряд - рядом Фурье элемента .

Пр Ряд , где

называется тригонометрическим рядом Фурье функции по ортогональной системе с коэффициентами . Ряд , где , называется рядом Фурье в комплексной форме функции по ортогональной системе с коэффициентами .

Опр Член называется - ой гармоникой тригонометрического ряда . Если положить и определить угол из системы , то -ю гармонику можно записать в виде .

Опр Пусть есть тригонометриче ский ряд Фурье -периодической функции . Последовательность или называется спектром периодической функции ; - амплитудой - ой гармоники; - фазой - ой гармоники. - основная частота; - - ая гармоническая частота. - основная круговая частота; - - ая круговая частота функции .

ТЕОРЕМА 8.2 (свойства поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье) 1) Пусть ортонормированная последовательность в вещественном евклидовом пространстве . Для каждого элемента существует единственный "многочлен" степени , отклонение которого от элемента будет наименьшим . 2) Для каждого элемента гильбертова про-ва его ряд Фурье сходится по норме . Для того, чтобы он сходился к самому элементу, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство Парсеваля . 3) Для функции ее тригонометрический ряд Фурье в каждой точке сходится к числу . 4) В условиях предыдущего пункта представима в этом же смысле в виде ряда Фурье в комплексной форме , причем и коэффициенты связаны равенством . 5) Если функция четная (нечетная) на и удовлетворяет условиям пункта 3), то , то есть она разлагается в ряд по косинусам (по синусам) на оси. При этом .

◄ 4) ,

. 5) Пусть, например, является нечетной. Тогда в силу свойств определенного интеграла от четной и нечетной функций. Пункты 1)-3) без доказательства. ►

ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл) Для функции равенство Парсеваля принимает вид . Для периодического с периодом на аналогового сигнала (тока, напряжения) величина называется квадратическим (действующим) значением сигнала. Нетрудно убедиться, что для -ой гармоники такого сигнала квадрат действующего значения равен . В этих обозначениях равенство Парсеваля принимает вид . То есть квадрат действующего значения сигнала равен сумме квадратов действующих значений составляющих его гармоник.

Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. год, УТС-11, УЭЛ-11, УБА-11,12

1. Опр. ДУ, ОДУ. Пр. 2. Опр. ОДУ -го порядка, разрешенного (не разрешенного) относи тельно производной. 3. Опр. решения ОДУ и интегральной кривой. Пр. 4. Опр. задачи Коши, условий и данных Коши. 5. Опр. общего, частного и особого решений. 6. Что значит проинтегрировать в явном виде и в квадратурах? Пр. 7. Опр. НСОДУ, его порядка и задачи Коши. 8. Опр. НСЛДУ, однородной НСЛДУ и линейно независимых решений.

9. Опр. фундаментальной системы решений, фундамент. матрицы и вронскиана. 10. Опр. переходной матрицы и ее свойства. 11. Опр. ЛДУ -го порядка и его свойства. 12. Опр. сетки и сеточной функции. 13. Опр. локальной, глобальной погрешностей и метод Эйлера. 14. Опр. функционального преобразователя и булевой функции. 15. Опр. логической формулы, штриха Шеффера и закона поглощения. 16. Опр. конъюнкта и СДНФ. 17. Опр. замыкания, функционально полного множества булевых функций. 18. Опр. базиса булевых функций и теорема Шеннона. 19. Опр. импликанты, простой и существенной (ядровой) импликант. 20. Опр. тупковой ДНФ и минимальной ДНФ.

Вопросы ко второму блоку, 2011-2012 уч.год

1. Опр. шара, ограниченного и открытого множества в . 2. Опр. отображения, функции n переменных и координатных функций. 3. Опр. С-линии и С-поверхности уровня. Пр.

4. Опр. и свойства предела отображений и функций. 5. Опр. дифференцируемого отобра жения, производной и дифференциала отображения в точке. 6. Опр. матриц Якоби отображения и матрицы Гессе функции. Пр. , . 7. Опр. частной производной, произв. по направлению и формула вычисления. 8. Опр. градиента и его свойства. 9. Геом. смысл дифференцируемости и уравнение касательной поверхно сти. 10. Опр. смешанной производной, производной второго порядка и замечания.

11. Опр. многочлена Тейлора и аппроксимации функции. 12. Формулировка необходимых и достаточных условий локального экстремума. 13. Опр. двойного интеграла и его свойства. 14. Геометрический смысл двойного интеграла. Приложения. 15. Опр. интеграла с перемен ным верхним пределом и повторного интеграла. 16. Опр. КИВР. 17. Опр. числового и гармо нического рядов. 18. Опр. частичной суммы и суммы ряда. Найти сумму геометрич. прогресс сии. 19. Опр. абсолютно и условно сходящихся рядов. Пр. 20. Опр. ортогональной системы и коэффициентов Фурье и ряда Фурье. 21. Опр. тригонометрического рядя и ряда Фурье в комплексной форме. Формулы коэффициентов. 22. Опр. к -ой гармоники, спектра периоди ческой функции, амплитуд, фазы, частот.

Дата добавления: 2015-11-16