Глава 1. Методы оптимизации в электронике СВЧ

Любая деятельность человека подразумевает наличие цели, к которой он стремится. Если же поставлена цель и есть какие-то управляющие воздействия на объект его деятельности, то это является задачей оптимизации. Поэтому любое научное исследование, в том числе и в электронике СВЧ, в принципе является задачей оптимизации.

Общим для задач принятия оптимальных решений, которые возникают на разных этапах проектирования, является то, что они могут быть сформулированы математически как задача нелинейной оптимизации. Для конкретной математической модели реального физического процесса требуется найти такие значения варьируемых параметров, что бы они обеспечивали экстремум целевой функции при условии выполнения заданной совокупности ограничений и требований. К сожалению, среди численных методов поиска оптимальных решений (методов оптимизации, методов поиска) не существует универсального, который бы позволял эффективно решать любую задачу нелинейной оптимизации.

В данной работе будем рассматривать все методы оптимизации с точки зрения их приложения к задаче оптимального проектирования мощных микроволновых электронных приборов с учетом построенных в последующих главах математических моделей, описывающих процессы взаимодействия электронных потоков с электромагнитными волнами.

Для решения задач оптимального управления могут быть использованы методы вариационного исчисления [1,2] и динамического управления [3]. Применение вариационного исчисления для решения задач оптимального управления приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, граничные условия к которым заданы в двух концевых точках. Аналитическое решение такой граничной задачи для нелинейной системы уравнений невозможно и отсутствуют приемлемые численные методы решения. Методы динамического программирования для получения оптимального решения требуют очень большого объема памяти ЭВМ и времени счета. Строгая постановка задачи оптимального управления распределенными системами была дана в работах школы Понтрягина Л.С. [4], однако тогда не был разработан достаточно приемлемый с практической точки зрения метод достижения оптимальных решений. Некоторое продвижение в направлении разработки методики поиска оптимальных управлений с использованием принципа максимума Понтрягина следует отметить в работах Черноусько Ф.Л. и Крылова И.А. [5,6]. В Белоруссии свой вклад в разработку проблем оптимального управления внесли Кириллова Ф.М. [7] и Габасов Г.Ф. [8-9]. Но получаемые из принципа максимума оптимальные управления имеют вид разрывных знакопеременных функций, реализация которых практически невозможна. Действительно, как следует из принципа максимума, оптимальные управления линейно входящие в правые части дифференцальных уравнений состояния должны быть знакопеременными, релейными и максимальными по величине. Кроме того, могут существовать особые оптимальные управления, которые явно не определяются принципом максимума, например, скользящий режим, когда функция управления должна быть тождественно равна нулю на каком-то интервале. К тому же метод локального варьирования игольчатых вариаций мало пригоден для рассматриваемого класса задач с большим числом различного рода ограничений на функцию управления и этот метод неоправдано расширяет число оптимизируемых параметров, которое зависит от числа шагов интегрирования уравнений состояния. Поэтому встала задача найти хотя бы приближенный к оптимальному вид функции управления допускающий его практическую реализацию.

Выход из создавшегося положения был предложен в нашей совместно с Кураевым А.А. работе [10]. В ней изложены основные положения АУС- метода оптимизации. Он основан на а ппроксимации у правления многопараметрической функцией заранее удовлетворяющей основным требованием физической реализации и использовании с опряженной системы уравнений для расчета производных от целевой функции по поисковым параметрам. Это позволило использовать для поиска уже тогда хорошо разработанные методы безусловной оптимизации. Дальнейшее развитие такой подход к решению задач оптимального управления получил в работах Троицкого В.А. [11], а практическое применение его отражено в работе Панасюка А.И. и Панасюка В.И. [12].

Разработке эффективных прямых методов поиска минимума многопараметрических функций посвящено большое количество работ, в основном зарубежных авторов. Среди методов нулевого порядка наибольшее распространение получили методы покоординатного поиска, Розенброка [13] и Пауэлла [14]. Среди методов оптимизации первого порядка лидирующее положение прочно занимают методы с переменной метрикой, которые обязаны своим появлением работам Давидона, Флетчера и Пауэлла [15-17]. Существенное повышение устойчивости их работы обязано Гринстаду [18] и Гольдфарбу [19].

Идеи условной оптимизации основаны на методе штрафных функций и множителей Лагранжа. Но каждому из этих методов присущи существенные недостатки при практической их реализации. Это можно сравнить с решением на ЭВМ неопределенности типа ноль деленный на ноль. В работе Хестенса [20] предложен комбинированный метод, который в какой-то мере устраняет указанный недостаток. Дальнейшее развитие методов условной оптимизации пошло по пути проективного или приведенного градиента [21-22]. Однако, идеи заложенные в этих работах были еще далеки от практической их реализации. В моей совместно с Кураевым работе [23] на основе идей проективного градиента предложен метод разделения параметров для решения задач условной оптимизации электронных приборов. В этом методе при постановке задачи условной оптимизации все поисковые параметры разделяются на независимые и зависимые. Причем это разделение основывается на физическом смысле параметров. Число зависимых параметров определяется числом функциональных ограничений типа равенств нулю. Оптимизация происходит только по независимым параметрам, а для зависимых используется нелинейная аппроксимация. При этом полный градиент от целевой функции проектируется на гиперповерхность ограничений. Это обеспечивает поиск вблизи поверхности ограничений, что ускоряет решение задачи условной оптимизации и позволяет в любой момент остановить поиск. Промежуточное решение при этом удовлетворяет ограничениям задачи.

Разработанное в настоящее время стандартное математическое обеспечение ЭВМ не в состоянии обеспечить решение стоящих перед микроволновой электроникой задач оптимального проектирования. В нем отсутствуют стандартные программы для эффективного решения задач условной оптимизации. Поэтому одной из целей настоящей работы было создание универсальной программы условной оптимизации с использованием метода разделения параметров и реализации поисковой процедуры на основе устойчивых методов с переменной метрикой.

Дадим теперь постановку задачи условной оптимизации.

Под задачей оптимизации будем понимать процесс минимизации или максимизации целевой функции J(X) с помощью вектора поисковых параметров X (X - n - мерный вектор) при наличии всевозможных дополнительных условий на поисковые параметры:

V (X)=0, (1.1)

,где V - r - мерный вектор ограничений.

В электронике СВЧ объектом исследования или оптимизации являются или какой-либо электронный прибор или процесс происходящий в нем. Таким прибором может быть, например, пролетный клистрон, магнетрон, лампа бегущей волны (ЛБВ), пениотрон, строфатрон, убитрон, гиротрон, гироклистрон, гиротон или любой другой тип прибора. В качестве поисковых параметров могут быть, например, длина прибора, ток и напряжение электронного потока, длины, добротности и расстройки резонаторов, коэффициенты разложений распределений магнитостатического поля или профиля волноводной системы и т.д. Целевая функция обычно является сложной функцией куда могут входить, например, коэффициент полезного действия (КПД), ширина полосы усиления, коэффициент усиления, параметры определяющие неравномерность амплитудно-частотной характеристики или условия устойчивости и т.д. В качестве ограничений могут быть, например, ограничения на поисковые параметры (ток, напряжение, длину и т.д.), условия устойчивости, условия согласования каскадов и т.д.

Процесс в электронном приборе описывается с помощью методов математического моделирования. Обычно это детерминированные модели в которых погрешность определяется только методом моделирования и точностью расчетов на ЭВМ. Процесс взаимодействия электронов с электромагнитным полем описывается обычно или с помощью аналитической модели или с помощью метода крупных частиц [24-27]. В последнем случае математическая модель процесса в приборе задается в виде системы дифференциальных уравнений вида:

, (1.2)

где Y - N - мерный вектор фазовых переменных, который описывает движение "крупных" частиц, t - независимая переменная (обычно это время или продольная координата), 0£ t £T.

Начальные условия к системе (1.2) записываются в виде

Y (0)= Y0 (X). (1.3)

Функция цели или критерий качества в общем случае может иметь вид -

. (1.4)

Это задача Больца [28-29]. Ее можно свести к задаче Майера добавив к системе (1.2) дифференциальное уравнение -

, (1.5)

с начальным условием YN+1(0)=0. В этом случае размерность системы (1.2) N увеличивается на единицу, а целевая функция примет вид -

J(X,Y (X,T(X)))=F(X,Y (T)). (1.6)

При расчетах системы (1.2) и целевой функции(1.6) будем предполагать, что управления U (t) приближенно аппроксимируются заданными функциями от поисковых параметров X [30]:

U (t)= U (X,t), (1.7)

что позволяет свести задачу оптимального управления к задаче параметрической оптимизации. При этом обычно функции (1.7) задают в виде конечного ряда по системе ортогональных функций:

, (1.8)

где i=1..k, k- размерность вектора управления U (t), ni - число членов i-го разложения, Aij- коэффициенты разложений, которые входят в вектор поисковых параметров X, yij(t) - системы ортогональных функций удовлетворяющих условию:

(1.9)

В качестве функций yij(t) обычно используют полиномы Чебышева, Эрмита, Лежандра, Лагерра, тригонометрические функции и т.д.

Дата добавления: 2015-11-14