Лекция № 3

Читайте также:

Теория звука в ее классической форме строится на основе законов движения газов с учетом особенности колебательных движений с малой амплитудой.

Движение газов подчиняется законам аэродинамики. Уравнения в общей форме нелинейны и трудно поддаются решению. Поэтому делают ряд упрощающих предположений.

Аэродинамика идеального газа, лишенного вязкости, применяющая при решении задач, связанных с движением газов, в частности воздуха. Однако без учета вязкости невозможно вычислить сопротивление газа движению тела.

При скорости движения, меньших, чем скорости звука, можно пренебрегать сжимаемостью газов. Аэродинамика несжимаемого газа применима в известной степени. Кажущаяся несжимаемость газов является следствием того, что при скоростях меньших скорости звука, всякие изменения давления, вызванные движением тела, распространяются в форме звуковой волны и опережают движущееся тело. В пределах ограниченных размеров движущегося тела деформация газа остается неизменной, что эквивалентно несжимаемости.

При скоростях, приближающихся к скорости звука и больших, газы нельзя считать несжимаемыми и необходимо учитывать влияние теплопроводности при быстро протекающих процессах. Аэродинамика сжимаемого газа — газодинамика.

При строгом решении задачи о колебательных движениях в сплошны средах их необходимо считать сжимаемыми. При таких движениях в телах, имеющих достаточно большую протяженность, возникают волны, которые передают возникающие деформации и давление от места их возникновения во все стороны с конечной скоростью (скоростью звука).

Основные вопросы акустики разрешаются в предположении малых амплитуд колебаний, но с учетом сжимаемости среды.

Акустика — газодинамика малых амплитуд.

Большинство вопросов излучения и распространения звука решается при помощи волнового уравнения. Это уравнение получается из уравнения движения идеального газа и уравнения неразрывности среды и уравнения состояния.

Полная система уравнений акустики.

Уравнение движения частиц под действием сил упругости среды.

Основывается на втором законе Ньютона (F = m·a).

где x — координата; ξ — ρмещение

Звуковые волны распространяются в 3-х измерениях. Они являются продольными волнами. Молекулы воздуха движутся в направлении распространения волн, так что происходит чередование сжатий и разряжений. Восстанавливающей силой, необходимой для существования волнового движения, является сопротивление, которое газ оказывает сжатию.

Плоские звуковые волны — волны, распространяющиеся в пространстве в одном направлении, области сжатия и разряжения, которых, располагаются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространению волн.

Основные положения.

Рассмотрим воздух в прямой трубе неизменимого поперечного сечения S.

Когда звуковая волна распространяется по трубе плоскости х₁и х₂будут смещаться из положения равновесия взад и вперед по трубе х₁+ ξ(υ₁) и х₂+ ξ(υ₂). Каждая молекула газа, находящаяся первоначально на расстоянии х от начала переместится на расстояние ξ. έто смещение зависит от времени t и от положения молекулы х.

ξ (x,t).

Т.к. молекула участвует в тепловом движении (броуновское движение), то ξ (x,t) представляет собой среднее смещение ξ..

Обозначим ρ ₀ и р₀плотность и давление газа в состояние равновесия. Действительная плотность в точке Х в момент времени t – ρ(x,t).

Относительное изменение плотности

Тогда

Разность между действительным давлением Р и равновесным давлением Р₀ обозначим Р^'(x,t). Именно этот избыток давления производит движение микрофонной диафрагмы.

Р^'(x, t) – звуковое давление

P=P₀ + P^’(x, t)

Сила, действующая на элемент с одной стороны, возникающая в результате давления слоёв газа

Разность между этими силами

является полной силой, действующей на элемент газа, лежащей между плоскостями.

Масса газа

Ускорение

- уравнение движения.

Уравнение неразрывности.

При равновесии масса газа должна быть равна плотности , умноженной на объём . Когда плоскости смещаются под действием звуковой волны, масса газа должна оставаться постоянной, т.е.

Когда плоскости смещены, объём может измениться, т.к. смещение одной плоскости , а другой

Объём в результате смещения

Плотность газа должна изменяться так, что общая масса

Используя введённое обозначение δ и пренебрегая величинами второго порядка малости, считая S=const

- уравнение неразрывности.

Если плоскости в результате смещения раздвигаются, то плотность газа в данной точке уменьшается и наоборот.

III. Уравнение состояния.

Используются термодинамические свойства газов. Сжатие и расширение в звуковой волне происходят достаточно быстро, поэтому температура газа меняется при неизменной тепловой энергии –адиабатический процесс.

Он описывается следующим уравнением