Прямое произведение топологических пространств

Пусть X и Y — два топологических пространства. Топология произведения задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений , где U — открытое подмножество X и V — открытое подмножество Y.

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X = Π X_i определение усложняется. Определим открытый цилиндр , где и U — открытое подмножество X_i.

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогичнакомпактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполненааксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).

Дата добавления: 2015-09-06