Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп (G, *) и — это группа из всех пар элементов (g, h) с операцией поэлементного умножения: . Эта группа обозначается как . Сомножители G и H изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, и соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1 _G,1 _H), который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае, , где и . (Операция в правой части — это операция группы G_i.) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: . Например, для счётного числа групп: , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех f, носитель которых (то есть множество ) конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать какдвоичные представления натуральных чисел.

Дата добавления: 2015-09-06