Критерій Севіджа

Використання критерію Вальда інколи приводить до суперечливих висновків. Розглянемо таку матрицю втрат (грн.).

=		S 1	S 2
a 1
a 2

Користуючись критерієм Вальда, приходимо до вибору альтернативи а ₂. Інтуїтивно проситься вибрати а ₁, оскільки не виключено, що S = S ₁. Тоді втрати складуть тільки 50 грн. При виборі альтернативи а ₂ втрати завжди будуть не меншими 150 грн.

Розглянемо критерій Севіджа, який ґрунтується на принципі мінімакса наслідків прийнятого помилкового рішення і старається мінімізувати втрачену вигоду. Його зміст полягає у формуванні нової матриці втрат з допомогою такої формули:

(13.2)

Отримані значення показують величину ризику, тому критерій Севіджа називають критерієм мінімального ризику. У першому випадку є різницею найкращого значення в стовпці S _j і значенням . За змістом, виражає «співчуття» особі, що приймала рішення, у зв’язку з тим, що вона не вибрала найкращої дії відносно стану S _j .

У другому випадку відображає різницю та найгірше значення в стовпці S_j .

Незалежно від того, чи є прибутком або втратами, функція в обох випадках визначає втрати. Тому до слід використовувати тільки мінімаксний критерій.

Отже, формула для вибору оптимальної альтернативи з допомогою критерію мінімального ризику набуває вигляду:

.

Приклад 13.3. Користуючись критерієм Севіджа, знайти розв’язок прикладу 13.1.

¨ Розв’язування.

Відповідно до умови прикладу 13.1 матриця відображає втрати. Отже, для цього випадку має місце формула:

.

Знайдемо числові значення:

Тоді шукана величина ризику матиме вигляд (табл. 13.3).

Таблиця13.3

=		S 1	S 2	S 3	S 4	S 5
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5

Отримуємо, .

Отже, найкращою альтернативою знову виявилася а ₃. ¨

Розглянутий критерій досить часто використовується в практичній діяльності при прийнятті управлінських рішень на тривалий період. Наприклад, при розподілі капітальних вкладень на перспективу він дає добрі результати.

13.4. Критерій Гурвіца (критерій оптимізму-песимізму)

Критерій Гурвіца в своєму алгоритмі охоплює декілька підходів до прийняття рішень: від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного.

При найбільш оптимістичному підході можна вибрати альтернативу, яка дає , де є виграшем (прибутком).

Аналогічно для найбільш песимістичних припущень вибрана альтернатива відповідає

. (13.3)

Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього оптимізму й крайнього песимізму, порівнюючи обидві альтернативи з допомогою відповідних коефіцієнтів a, та (a –1), де 0£ a £1. Якщо представляє прибуток, то вибираємо альтернативу, яка дає

. (13.4)

У випадку, коли представляє втрати, критерій вибирає альтернативу, яка дає

. (13.5)

Параметр a є показником оптимізму (ступенем впевненості): при a =1, критерій дуже оптимістичний; при a = 0 – дуже песимістичний. Значення a (0 £ a £ 1) може визначитися залежно від характеру особи, яка приймає рішення, тобто що їй більш характерно: песимізм чи оптимізм. Чим складніша господарська ситуація, чим більше в ній хоче підстрахуватись ОПР, тим ближче до нуля вибирається a. Якщо a наближається до нуля, то збільшується невпевненість при досягненні успіху. Використання окресленого критерію ускладнюється при відсутності достатньої інформації про величину параметра a, який в силу суб’єктивних причин при різних рішеннях і в різних ситуаціях набуває різних значень. При відсутності інформації про яскраво виражений характер особи a приймається рівним 0,5.

Припустимо, що a = 0, тобто ОПР має мало надії на сприятливий наслідок, тоді отримаємо:

При абсолютній впевненості в досягненні успіху (значення a приймаємо за 1) маємо крайній оптимізм:

.

За умови, що ОПР не має змоги визначити коефіцієнт a, а компроміс між оптимістичним і песимістичним рішеннями бажаний використовуємо вираз:

(13.6)

Приклад 13.4. Користуючись критерієм Гурвіца, знайти розв’язок прикладу 13.1.

¨ Розв’язування.

Використовуємо критерій Гурвіца до умови прикладу 13.1. Покладемо a =0,5.

Для знаходження оптимального рішення побудуємо таблицю:

Таблиця 13.4

a 1			16,5
a 2
a 3			14,5
a 4
a 5			37,5

.

Отже, оптимальне рішення полягає у виборі альтернативи а ₃. ¨

13.5. Критерій Байєса (максимум середнього виграшу)

Цей критерій використовується за умови, коли відомий розподіл ймовірностей відбуття станів системи. Припустимо, що нам відомі значення ймовірностей настання станів системи , які задаються таким розподілом:

S j	S 1	S 2	K	S m
p j	p 1	p 2	K	p m

Існування закону розподілу ймовірностей станів системи дає можливість визначити математичне сподівання корисності при виборі кожної альтернативи. Оптимальною вважається та альтернатива, яка забезпечує екстремальне (min або max) значення математичного сподівання:

(13.7)

Приклад 13.5. Користуючись критерієм Байєса, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0.2; 0.15; 0.3; 0.25; 0.1}.

¨ Розв’язування.

Розв’язок задачі представимо таблицею 13.5.

Таблиця 13.5

Альтернатива	S 1	S 2	S 3	S 4	S 5
V i1	V i1*p1	V i2	V i2*p2	V i3	V i3*p3	V i4	V i4*p4	V i5	V i5*p5
a 1		0,8	2,2	3,3		4,5		4,0		2,9	15,5
a 2		2,0		2,25		7,8		3,0		1,0	16,05
a 3		1,6		2,85		1,8		6,0		0,5	12,75
a 4		6,0		3,75		1,5		3,5		1,6	16,35
a 5		3,0		0,75		9,0		5,5		0,9	19,15
p j	0,2	0,15	0,3	0,25	0,1

Отже, оптимальним рішенням є вибір альтернативи а ₃. ¨

Дата добавления: 2015-09-02