Коэффициент корреляции

Пусть Х и Y – две случайные величины с математическими ожиданиями M (X) и M (Y) и дисперсиями D (X) и D (Y).

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y (обозначается через ρ (X, Y)) называется ковариация нормированных случайных величин Х и Y.

Если X и Y независимы, то ρ (X, Y) = 0.

Обратное утверждение неверно. Коэффициент корреляции может быть равен нулю, но Y является функцией X.

Пример11. Величина X принимает значения: и с вероятностями 0,25 каждое. Тогда М (Х) = 0. Положим Y = X ². Закон распределения XY таков:

xy	-8	-1
p	1/4	1/4	1/4	1/4

Отсюда

Если Cov(X, Y) = 0 (тогда и ρ (X, Y) = 0), говорят о некоррелированности случайных величин Х и Y. Мы показали, что из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность. Обратное утверждение неверно, как мы только что показали, некоррелированные случайные величины могут быть зависимы.

Чтобы дисперсия суммы нескольких случайных величин равнялась сумме их дисперсий, достаточна их попарная независимость и необходима их попарная некоррелированность.

Докажем, что всегда | ρ (X, Y)| £ 1, причем равенство ρ (X, Y) = 1 справедливо тогда и только тогда, когда случайные величины Х и Y связаны линейной зависимостью.

Действительно,

Так как дисперсия всегда неотрицательна, то

Пусть . Значит, либо либо . Но равна нулю только дисперсия константы, поэтому

Если же , то ,

;

Если , говорят, что случайные величины и связаны положительной линейной зависимостью. Если. , говорят, что случайные величины и связаны отрицательной линейной зависимостью.

Дата добавления: 2015-08-13