Величин в общем случае

До 4 баллов за конспект

Ковариация. Дисперсия суммы случайных

величин в общем случае

Пусть Х и Y – две дискретные случайные величины, имеющие математические ожидания М (Х) и М (Y) и дисперсии D (X) и D (Y).

Математическое ожидание произведения XY определяется формулой

Ряд сходится абсолютно, так как Следовательно,

число M (XY) существует.

Найдем математическое ожидание произведения центрированных случайных величин .

Ковариацией случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин . Ковариация обозначается так: Cov(X, Y). Мы доказали, что

(9.10)

Тогда

Подчеркнем, что Х и Y должны обладать дисперсиями, только тогда ковариация существует наверняка.

Если Х и Y независимы, то, как было ранее доказано, М (ХY) =

= M (X) M (Y); поэтому ковариация независимых случайных величин равна 0. Обратное утверждение неверно.

Пусть теперь X ₁, X ₂, …, X_n – случайные величины с дисперсиями (конечными) D (X ₁), D (X ₂), …, D (X_n) и математическими ожиданиями M (X ₁), M (X ₂), …, M (X_n). Обозначим через S_n сумму X ₁ + X ₂ + … + X_n. Найдем D (S_n).

Обозначим эту сумму через M_n. Имеем

.

Вычислим математические ожидание левой и правой частей. Мы получим формулу, по которой подсчитывается дисперсия суммы n случайных величин:

(9.11)

Последняя сумма состоит из чисел , причем i < j.

В частности, .

Тогда

Если случайные величины X_i, X_j попарно независимы, получается уже доказанная формула

Дата добавления: 2015-08-13