Примеры решения задач

Задача 74. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение.

Решение. Случайная величина X - число появлений “успеха” в n независимых испытаниях – есть сумма n независимых случайных величин, , где X_i - число появлений “успеха” в i -м испытании,

i = 1, 2, …, n. Но закон распределения величины X_i очень прост, это множество . Отсюда M (X_i) = 0× q+ 1× p= p; M () = M (X_i) = p; D (X_i) = p - p² = pq. Поэтому

Задача 75. Сколько игральных кубиков надо бросить, чтобы математическое ожидание числа кубиков, на которых выпало одно очко, равнялось 5?

Решение. Пусть брошено n кубиков. Число кубиков, на которых выпало одно очко, - биномиально распределенная случайная величина X с пара-

метрами n и p = 1/6, M (X) = n /6. По условию n /6=5, тогда n = 30.

Задача 76. Корректура в 500 страниц содержит в среднем 1300 опечаток. Считая, что число ошибок на странице распределено по закону Пуассона, найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице и вероятность этого числа.

Решение. Условие задачи нужно понимать так: случайная величина Х – количество опечаток на некоторой странице текста – распределена по закону Пуассона с параметром λ - средним числом опечаток на странице. Значение параметра одинаково для всех страниц, поэтому среднее число опечаток на пятистах страницах равно произведению 500 λ. Нужно приравнять 500 λ числу 1300, откуда λ = 2,6.

Вычислим вероятности событий р (Х = 0), р (Х = 1),…:

Ясно, что следующие вероятности будут только убывать, поэтому наиболее вероятное число опечаток на одной странице (мода случайной величины Х) равно 2, вероятность этого числа равна 0,251.

Задача 79. Сколько изюма должна содержать в среднем булочка, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булочке была не менее чем 0,99?

Решение. Испытание здесь - проверка, попала ли данная изюминка в данную булочку. Испытания предполагаются независимыми; количество изюминок исчисляется тысячами; вероятность “успеха” ничтожно мала. Поэтому число X изюминок в булочке можно считать случайной величиной, имеющей распределение Пуассона. Так как М (Х) = λ, нужно определить значение параметра λ. Из условия р (Х ³ 1) ³ 0,99 получаем, что р (Х = 0)=1 - р (Х ³ 1)£ 0,01. С другой стороны,

Итак, £ 0,01, отсюда – λ £ -4,605 λ ³ 4,605. Булочки должны содержать в среднем по 5 изюминок.

Задача 80. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение, начинающееся с единицы.

Решение. Закон распределения Х таков:

хi				…	k	…
рi	p	qp	q^2p	…	q^k ^-1 p	…

Тогда

Легко доказать, что ряд сходится. Произведение kq^{k -1} есть производная функции q^k по q. Отсюда

, ведь - это сумма геометрической прогрессии со знаменателем q < 1. Далее, Ряд сходится, поэтому

Отсюда

Следовательно, случайная величина Y = X – 1, которая имеет геометрическое распределение, начинающееся с нуля, обладает такими характеристиками:

Дата добавления: 2015-08-13