Метод интегральных и интегрально-разностных кривых.

Лабораторная работа 5

Исследование скрытой периодичности временного ряда.

Цель работы: Изучить методы исследования временных рядов, используемые для оценки изменения и колебания климата. Выявить цикличность в колебаниях атмосферных осадков.

Методы исследования временных рядов.

Под временным рядом в климатологии понимают перечень значений случайной переменной в зависимости от времени.

Существующие методы изучения свойств временного ряда условно делят на две группы: визуальные (скользящие и нескользящие средние, фильтры и интегрально-разностные кривые и т.д.) и количественные (корреляционный и спектральный анализы и т.д.).

Для изучения изменения климата используются различные методы в зависимости от поставленной задачи.

Изменение климата можно изучать только тогда, когда исходные ряды наблюдений однородны во времени и сравнимы в пространстве. Методика обработки климатологических рядов (причины неоднородности, методы выявления неоднородностей, устранение неоднородностей, количественная их оценка) подробно описана в работах [2,3,6], поэтому нет необходимости излагать теорию этих вопросов.

Остановимся на методах, которые наиболее широко используются для оценки изменчивости метеорологических величин в том числе и для исследования изменения климата.

Метод интегральных и интегрально-разностных кривых.

Способ разностной интегральной кривой прямой для оценки циклических колебаний многих явлений природы впервые был предложен В.Г. Глушковым. В.Г. Андреянов впервые начал производить сопоставительный анализ разнородного материала на основе нормирования разностных интегральных кривых модульных коэффициентов.

Способ вычисления разностной интегральной кривой заключается в том, что сначала для данного ряда наблюдений выполняется вычисление модульных коэффициентов: , (2.2)

где Mi – значение данного ряда, Mср – среднее значение ряда.

Затем определяют их отклонения от середины К – 1 и наконец, производится построение интегральной кривой путем последовательного суммирования этих отклонений по выражению: . (2.3)

Таким образом, разностная интегральная кривая представляет собой нарастающую сумму отклонений модульных коэффициентов от среднемноголетнего значения ряда на конец каждого Mi года.

Положительные значения отклонений модульных коэффициентов при суммировании за интервал времени дают наклон разностной интегральной кривой вверх относительно горизонтальной линии, а отрицательные их значения – наклон кривой вниз.

Если структура исходного ряда такова, что его члены как-то связаны друг с другом, но на их величину влияют и случайные, в статистическом смысле, факторы, то в преобразованном ряду роль систематичности возрастает по сравнению с влиянием случайных факторов.

В интегрально-разностном ряду закономерная его структура проявляется более четко, чем в исходном ряду и амплитуды длинных воли увеличиваются больше, чем коротких. Поэтому возможна поочередная фильтрация волн разной длины. Вместе с тем этот метод имеет и ряд недостатков. Так, О.А.Дроздов показал, что при исходном бессвязном ряде дисперсия членов интегрально-разностного ряда будет наибольшей в середине изучаемого ряда и накопление случайных ошибок может значительно увеличить амплитуду случайных колебаний в этой части ряда.

Оценивая циклические колебания исследуемых элементов на основе разностной интегральной кривой, следует отметить, что в ней не учитывается циклический процесс в нашем понимании. Наиболее характерные отрезки кривой в таком процессе соответствуют областям впадин и вершин или наименьшим и наибольшим их значениям. На разностной же интегральной кривой эти положения в циклах, за счет суммирования ординат в повышенных и пониженных фазах, смещаются. По этой причине смещаются и природные границы, которые в полных циклах принимаются по наименьшим значениям впадин. Величина смещения границ зависит от характера структуры циклической изменчивости изучаемого элемента.

Поскольку циклический процесс принципиально различен для разных взаимосвязанных природных элементов (даже для таких как атмосферные осадки и речной сток), вследствие воздействия подстилающей поверхности, то величина смещения фаз по результатам разностной интегральной кривой в этом процессе получается несравнимой. Более того, в условиях векового хода природного процесса разностная интегральная кривая приводит к неточности в определении повышенных и пониженных фаз внутривековых циклов, занижает или завышает их значения, либо вовсе их не учитывает. Так как среднее значение векового цикла того или иного изучаемого элемента отличается по знаку от средних значений внутривековых его циклов, то например, на восходящей ветви этого цикла, в начале ее развития, повышенные фазы внутривековых циклов будут либо менее мощные, либо совершенно утрачены, чем в конце ее, и обратно, для пониженных фаз этих циклов. Очевидно, что на нисходящей ветви векового цикла повышенные и пониженные фазы циклов будут иметь обратную последовательность.

В случае сверхвекового хода отмеченные неточности будут усугубляться в зависимости величины изменчивости элемента. Таким образом, вычисление ординат от середины и построение по ним разностной интегральной кривой не отражает действительных условий полного циклического процесса.[1]

Таким образом, учитывая указанные выше недостатки метода интегрально-разностных кривых, его не следует рекомендовать для широкого использования при изучении вопроса изменения климата. Однако, если исследуются кумулятивные свойства ряда, например, анализ накопления воды в водохранилище, в этом случае использование интегрально-разностного ряда имеет физический смысл.

Сглаживание и фильтрация

Если исходный временной ряд содержит некоторые частоты или периоды, которые в данный момент не представляют интереса для исследования, амплитуда этих волн может быть уменьшена с помощью статистической фильтрации. Сглаживание является формой фильтрации, создающей временной ряд, в котором спектральные компоненты с высокой частотой уменьшены. В терминологии, принятой в электротехнике, такой тип фильтра называют фильтром пропускания низких частот, так как сглаживание слабо влияет на волны с низкой частотой (длиннопериодические волны). Величина в сглаженном временном ряде является просто оценкой величины во временном ряде, в котором нежелательные высокие частоты отсутствовали бы.

Можно также отфильтровать низкие частоты, оставив в ряде только волны высокой частоты. Этот тип фильтрации временного ряда называется фильтром пропускания высоких частот. Можно также отфильтровать как низкие, так и высокие частоты, оставив в получающемся временном ряде только средние частоты. Такой фильтр называется фильтром пропускания полос. Наконец, можно разработать статистические фильтры, которые будут усиливать во временном ряде волны высокой частоты таким образом, чтобы частично скомпенсировать эффекты предыдущего сглаживания того же ряда. Этот процесс называется «разглаживанием» или «обратным сглаживанием».

Статистические фильтры состоят из рядов весовых коэффициентов (обычно дробных чисел), которые для получения отфильтрованной переменной умножаются на последовательные величины временного ряда. Простейшим статистическим фильтром, или, как его называют, фильтрующей функцией является скользящая средняя с равными весами, которая рассчитывается путем суммирования п последовательных величин временного ряда и делением полученной суммы на п. Эти средние рассчитываются по данным, сосредоточенным у каждой величины ряда, таким образом, что величины, использованные для расчетов соседних скользящих средних, значительно перекрываются. Поэтому такой тип скользящих средних называют также перекрывающимися средними. В данном случае все веса фильтра одинаковы и равны 1/п.

Тип сглаживания с помощью скользящей средней с одинаковыми весами применяется настолько часто, что целесообразно привести приближенную формулу для его частотной характеристики. Эта формула имеет вид:

где Т — интервал, за который осредняются значения временного ряда, а f измеряется в циклах на время, выраженное в тех же единицах, что и Т. На рис. 15 приведено графическое изображение этой функции. Следует отметить, что для некоторых частот частотная характеристика отрицательна. Это означает, что не только амплитуды этих волн уменьшаются, но их экстремумы кроме того, становятся обратными, т. е. максимумы превращаются в минимумы и наоборот. Это свойство скользящих средних с одинаковым весом можно исключить, применив сглаживающие функции, имеющие веса, убывающие при удалении от центрального веса в каждом направлении пропорционально ординатам нормальной кривой вероятности. Частотная характеристика сглаживающей функции, имеющей дискретные веса пропорциональные ординатам нормальной кривой со средним квадратическим отклонением σ, может быть приближенно описана формулой

Таким образом, частотная характеристика сглаживающей функции, веса которой пропорциональны ординатам нормальной кривой, также имеет форму нормальной кривой. Следовательно, с увеличением частоты характеристика этого фильтра уменьшается медленно и плавно.

Статистическая фильтрация с пропусканием высоких частот может сопровождаться вычитанием сглаженных величин из данных исходного ряда. В результате такой операции в полученном временном ряде остаются только высокие частоты. Если эти величины опять слегка сгладить, то останутся только промежуточные частоты. В результате получается полосовой фильтр, частотная характеристика которого представляет собой просто разность между соответствующими параметрами двух использованных сглаживающих функций. Частотная характеристика фильтра пропускания высоких частот равна единице минус частотная характеристика сглаживающей функции, примененной при расчете сглаженных величин, которые вычитаются из исходных значений временного ряда для получения отфильтрованного.

Обычным типом сглаживания, производимого приборами, является экспоненциальное сглаживание. Оно называется экспоненциальным, так как вклад различных величин временного ряда в полученную на выходе сглаженную величину экспоненциально убывает в зависимости от интервала времени, прошедшего до момента, к которому отнесена осредненная величина. Будущие значения временного ряда не вносят никакого вклада в полученную на выходе измерительного прибора сглаженную величину. Все физические приборы с постоянными коэффициентами запаздывания (постоянными времени) осредняют измеряемую величину по экспоненте. Ртутный термометр имеет почти постоянный коэффициент запаздывания и является примером прибора, который производит экспоненциальное сглаживание. Частотной характеристикой экспоненциального фильтра является величина

где λ — постоянная времени в тех же единицах, что и величина, обратная f. Поскольку весовые коэффициенты этого типа фильтра не являются симметричными относительно момента времени, к которому относится фильтрованная переменная, как это было в случае всех других ранее описанных фильтров, этот фильтр сдвигает фазу волн временного ряда, полученного на выходе прибора, относительно фазы волн той же частоты в исходном ряде. Этот сдвиг фаз является функцией частоты и выражается следующим образом:

Здесь φ — сдвиг фаз. Угол φ всегда отрицателен и лежит в пределах от 0 до 90°. Таким образом, по сравнению с исходными фильтрованные волны всегда запаздывают. В приведенных только что формулах не фигурирует величина Δt, поскольку временные ряды, экспоненциально сглаживаемые физическими приборами, являются непрерывными, а не дискретными.

Все метеорологические приборы в той или иной степени осредняют измеряемые величины. Зная частотную характеристику экспоненциального фильтра, метеоролог может внести поправку в рассчитанный спектр наблюдений временного ряда произведенных прибором, и тем самым оценить истинный спектр, который был бы получен в результате анализа наблюдений, произведенных идеальным безинерционным прибором.

Кроме того, с помощью обратного сглаживания можно получить не только истинный спектр временного ряда, но и оценить сам истинный временной ряд. Обратная сглаживающая функция для обращения экспоненциального сглаживания получается из дифференциального уравнения для показаний прибора с постоянным коэффициентом запаздывания. Это уравнение имеет следующий вид:

Здесь X —истинное значение переменной, — показание прибора, производящего сглаживание. Решив это уравнение относительно X, получим

Производную в этом уравнении можно было бы определить графически из записи временного ряда. Однако большая точность вычисления производной, вероятно, может быть достигнута с помощью метода конечных разностей. Перед применением метода конечных разностей непрерывные экспоненциально сглаженные величины должны быть сперва сняты в равномерно распределенные моменты времени для получения дискретного временного ряда. После нахождения этих величин можно использовать следующую конечно-разностную форму дифференциального уравнения для обратного сглаживания ряда:

где X_t и — величины несглаженного и сглаженного временных рядов в момент t, a — сглаженное значение в момент t- 1, т. е. в момент, предшествующий t на Δt. Постоянная времени λ измеряется в единицах Δt. Для обеспечения приемлемой точности восстановления истинного временного ряда интервал Δt между данными должен быть малой долей λ, скажем 1/4 или меньше. Это уравнение для обратного сглаживания увеличивает амплитуду волн высокой частоты, не нарушая заметно низкие частоты, и тем самым позволяет восстановить исходное соотношение спектральных компонент временного ряда. Полное обращение первоначального сглаживания невозможно, так как волна, которая ранее в результате сглаживания полностью была исключена из временного ряда, никогда не может быть восстановлена.

Дата добавления: 2015-08-10