Упражнение 92.

Найдите минимальное значение выражения cos2x-8cosx. (Answer: -7)

Лирическое отступление о десятичных дробях.

Мы знаем (и умеем доказывать), что любая обыкновенная дробь эквивалентна конечной десятичной дроби, если её знаменатель содержит лишь степени двойки и пятёрки или бесконечной периодической дроби, если он содержит ещё иные простые делители.

А как понимать выражение вида 34,501002000300004….?

Рассмотрим бесконечную последовательность рациональных чисел:

34; 34,5; 34,501; 34,501002; 34,5010020003; 34,501002000300004;…

Она ограничена (например, числом 35), монотонно возрастает. По упражнению 28, у неё имеется верхняя грань. Это и есть то вещественное число, которое соответствует данной бесконечной десятичной дроби. Можно сказать, что оно выражается этой дробью.

Обратно, допустим мы ткнули в какую-либо точку х на числовой вещественной прямой. Допустим, что х>0. Рассмотрим [x] – целую часть х, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее х. Пусть [x]=n₀. Разобьём теперь отрезок [n₀, n₀+1] на 10 равных частей и пусть n₁ такое из чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, что n₀,n₁£x<n₀,n₁+0,1.

Пусть числа n₀, n₁,…,n_k-1 уже выбраны, и пусть n_k – наибольшее целое число такое, что n₀+10^-1 n₁+10^-2n₂+…+10^-kn_k£x.

Рассмотрим множество Е={n₀+10^-1 n₁+…+10^-kn_k}, k=0, 1, 2,…

Тогда х – верхняя грань множества Е. Если не все n_k начиная с некоторого номера k=t равны 9 (то есть 9=n_t=n_t+1=n_t+2=…), то десятичное разложение числа х равно n₀,n₁n₂n₃n₄,…

Если же бесконечная дробь содержит бесконечную последовательность девяток, например, 3,240999…, то её верхняя грань –десятичная дробь (рациональное число).

В приведённом примере ею служит число 3,241.

В расширенной двумя символами +¥ и -¥ системе вещественных чисел выполняются (по определению) следующие правила: х+¥=+¥, х-¥=-¥, х:+¥=х:-¥=0.

Если х>0, то х×(+¥)=+¥, х×(-¥)=-¥. Если х<0, то х×(+¥)=-¥, х×(-¥)=+¥. xÎRÞ-¥<x<+¥.
В расширенной числовой системе каждое множество имеет нижнюю и верхнюю грань.

  Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 октября 1831— 12 февраля 1916)  

Рихард Дедекинд был младшим ребёнком из 4 детей в семье Юлиуса Левина Ульриха Дедекинда—профессора-юриста и деятеля высшего образования. Родился, провёл большую часть своей жизни и умер в Брауншвейге. В 1848 году он поступил в Карловский коллегиум (Collegium Carolinum) в Брауншвейге, директором которого был его отец. Здесь он изучает основы математики.

В 1850 году Дедекинд поступил в университет Георга-Августа в Гёттингене (Гёттингенский университет), ведущий и старейший университет в Нижней Саксонии, слушает курс теории чисел, который читал профессор Мориц Штерн. Карл Фридрих Гаусс, работающий в Гёттингенском университете, к тому времени преподавал начальный курс, и Дедекинд стал его последним студентом. В числе его университетских друзей был Бернхард Риман.

В 1852 году, в возрасте 21 года, Дедекинд получил докторскую степень за работу над диссертацией по теории интегралов Эйлера. В то время Берлинский университет был центром математических исследований, поэтому Дедекинд переехал в Берлин и учился в университете 2 года вместе с Риманом. Затем он вернулся в Гёттинген и в должности приват-доцента преподавал курсы теории вероятности и геометрии.

В 1855 году умер Гаусс, и его кафедру занял Дирихле, общение с которым оказало огромное влияние на Дедекинда. Позже Дедекинд писал, что Дирихле сделал его «новым человеком». До конца жизни Дирихле (1859) они работали вместе и стали близкими друзьями.

Первое время Дедекинд изучал эллиптические и абелевы функции. Кроме того, он был первым в Гёттингене, кто преподавал теорию Галуа и ввёл в широкое употребление предложенное Галуа понятие поля.

В 1858 году Дедекинд начал преподавать в Техническом университете в Цюрихе. В 1859 году вместе с Риманом совершил поездку в Берлин, где встречался с Вейерштрассом, Куммером и другими видными математиками берлинской школы.

Когда в 1862 году Collegium Carolinum был преобразован в Технический институт, известный сейчас как «Технический университет Брауншвейга» (Technische Universität Braunschweig), Дедекинд возвращается в родной Брауншвейг, где проводит остаток своей жизни, преподавая в этом институте. В 1894 году он ушёл на заслуженный отдых, но продолжал иногда читать лекции и публиковаться.

Дедекинд избирался членом Берлинской (1880), Римской и Французской (1900) Академий наук. Он получил докторские степени в университетах Осло, Цюриха и Брауншвейга.

Дата добавления: 2015-08-09