Упражнение 8. Докажите, что nÎN $а,b| aÎA, bÎB такие, что .

Упражнение 7*.

Докажите, что в А нет наибольшего числа (аналогично, в В нет наименьшего).

(of course, assume the opposite and find h<1 for p=max{q| q²<2} such, that (p+h)²<2)

Тем самым, как вы видите, на числовой прямой есть «свободные места» для точек х>0, претендующих на свойство х²=2, а именно, между множествами А и В. Однако, зазор между А и В оставляет место только для одной такой точки, ибо рациональные числа «плотно» распределены вдоль числовой прямой.

Упражнение 8. Докажите, что "nÎN $а,b| aÎA, bÎB такие, что.

Поэтому, в «щель» между А и В можно поместить только одно такое “число”. Его мы и назовём «корнем из двух» и обозначим как Ö2.

Def. Такое разбиение множества рациональных чисел называется Дедекиндовым сечением. Итак, Дедекиндовым сечением называется разбиение множества Q рациональных чисел на два непустых подмножества А и В таких, что"а,b| aÎA, bÎB a<b.

Множество В может при этом иметь наименьшее число, такое сечение будет рациональным, определяемым этим самым наименьшим элементом В - рациональным числом. Например, А={qÎQ, q<2} и B={qÎQ, q³2}.

Тогда АÈВ=Q, АÇВ=Æ; "а,b| aÎA, bÎB a<b. В А, как и ранее, нет наибольшего, но в В на этот раз есть наименьшее – 2. Таким образом, имеются два типа сечений – рациональные и иррациональные.

Итак, мы построили новые объекты – сечения, некоторое подмножество которых отвечает рациональным (старым) числам, а новые элементы послужат для расширения понятия числа, для пополнения их новыми «числами». Программа довольна прозрачна: надо сначала научиться их сравнивать (перенести на них отношение порядка, превратив в упорядоченное множество); затем естественным образом определить сложение и умножение и доказать, что они удовлетворяют обычным свойствам (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность); затем убедиться в том, что операции сложения и умножения согласованы с отношением порядка и, наконец, что в полученном упорядоченном поле рациональные сечения образуют подполе, изоморфное полю рациональных чисел. Приступим к её реализации.

Поскольку одно множество в разбиении АÈВ=Q однозначно определяет второе (оно просто является его дополнением во множестве рациональных чисел Q), то будем в дальнейшем называть сечением множество А (элементы А называются нижними числами сечения (А,В), а элементы В – верхними). Соберём воедино все свойства этого А:

Def. Множество А рациональных чисел называется сечением, если оно

i) Не пусто и не равно всему Q;

ii) Содержит вместе с каждым своим числом и все, меньшие его числа;

iii) Не имеет наибольшего числа.

Очевидно, что

Упражнение 9. Если А – сечение, рÎА, а qÏA, то p<q.

Упражнение 10. Пусть rÎQ, r*={pÎQ÷ p<r}. Тогда r* – сечение, а r – его наименьшее верхнее число.

Т. о., рациональные сечения характеризуются наличием наименьшего числа во множестве В верхних чисел сечения.

Def. Два сечения считаются равными, если они тождественно равны как множества. Сечение А считается меньше сечения С, A<C, если найдётся рÎС, рÏА.

Пусть А,С – сечения. Пишем A£C, если А=С или A<C. A>C означает попросту, что С<А. Сечение, соответствующее рациональному числу r обозначим звёздочкой: r*. Положительными сечениями назовём такие сечения А, что А>0*. Соответственно вводятся неотрицательные, отрицательные и неположительные сечения.

Упражнение 11. Для любых двух сечений А и С выполняется и при том только одно из трёх отношений: А=С; A<C или A>C.

Следующее упражнение, вкупе с предшествующим, показывает, что введённое отношение порядка во множестве сечений превращает его в линейно упорядоченное множество:

Упражнение 12. Для любых трёх сечений А, В и С (А<B)Ù(B<C)ÞA<C.

Переходим к построению арифметике во множестве сечений.

Упражнение 13.
Пусть А и В – сечения. Тогда С={cÎQ, c=a+b| aÎA, bÎB} – сечение.

Т.о., корректно определено сложение сечений.

Дата добавления: 2015-08-09