Упражнение 45.

Подберите соответствующее с; каким его надо взять? Найдите выражение корней исходного уравнения через параметры p и q. Подкоренное выражение, от знака которого зависит как наличие, так и количество вещественных корней у уравнения, называется дискриминантом (приведённого) квадратного трёхчлена.

Попутно мы можем сделать один весьма важный вывод: параболы - графики Г(р,q) всех приведённых квадратных трёхчленов конгруэнтны, причём относительно одной только группы параллельных переносов – их даже поворачивать (тем более, отражать) не надо!

В терминах действия групп на множествах, можно сказать, что группа трансляций действует на множестве таких парабол транзитивно: все они лежат на одной орбите.

А как влияет на вид параболы старший коэффициент неприведённого квадратного трёхчлена? Для ответа достаточно посмотреть в тетрадь для 6-го класса. Так что полезно хранить тетради.

Вот вы и научились решать квадратные уравнения – теперь достаточно подставлять числа в готовую формулу. А на уроках мы научимся решать и системы уравнений с квадратными уравнениями и уравнения, сводящиеся к квадратным заменой переменной.

Приступим к знакомству с последними из элементарных функций (функций, которые проходят в школе) – тригонометрическим функциям и обратным к ним.

Вначале, пока у нас были только целые числа, мы имели только целочисленную плоскость Z´Z и могли рисовать линии, состоящие только из отдельных точек. Затем у нас появились рациональные числа, и мы стали рисовать графики на рациональной плоскости Q´Q непрерывными линиями, хотя по-прежнему не имели ещё на это права.

И вот, теперь, на вещественной плоскости R´R мы, наконец, с чистой совестью можем это делать. Правда, мы ещё пока не можем строго доказывать такие факты, как, например, то что «непрерывная кривая», соединяющая точки А и С квадрата АВСD пересекает аналогичную кривую, идущую из В в D. Мы это с лёгкостью сделаем, как только построим соответствующий технический аппарат. А пока что примем такие, наглядно очевидные, вещи на веру. Например, то, что луч, выходящий из начала координат, пересекает окружность с центром в начале координат.

Если мы будем рисовать концентрические окружности с центром в О, то отношение ординат точек пересечения луча с ними к их радиусам остаётся величиной неизменной (почему?), зависящей только от угла а и поэтому может быть принято за его меру. В качестве окружности можно выбрать, например, окружность с радиусом, равным единице, и тогда это отношение просто будет равным ординате.

Def. Углом a=(a,b) между лучом ОА=a и ОВ=b называется часть плоскости, заметаемая лучом а, поворачивающимся вокруг вершины О против часовой стрелки до совмещения с углом b.

Упражнение 46. Объясните, почему из этого определения следует -a=(b,a)

Def. Пусть на декартовой плоскости с осью абсцисс ОХ=а задан луч ОС=b. Тогда синусом угла a=(a,b) называется ордината y его точки A пересечения с единичной окружностью, косинусом – абсцисса x этой точки A и тангенсом – отношение ординаты этой точки к её абсциссе. Обозначения соответственно, sina, cosa и tga.

Иными словами, если А(х,у) – точка на единичной окружности, в которой луч, составляющий угол a с осью абсцисс ОХ, встречает окружность единичного радиуса с центром в начале координат О декартовой плоскости ХОУ, то тригонометрические функции угла a=ÐАОХ определяются так: sina=y, cosa=x, tga=y:x.

Угловыми единицами измерения являются градусы и радианы. Условились считать полный оборот луча вокруг его вершины принять за 360°. Тогда развёрнутому углу соответствует 180°, прямому - 90° и т.д. В то же время «длина» окружности единичного радиуса, измеренная экспериментально, даёт результат примерно 6,28. Хорошим приближением для неё служит обыкновенная дробь 44/7. На самом деле, определив аккуратно понятие длины кривой (в том числе и окружности), можно доказать, что число это иррационально и, более того, трансцендентно (то есть не может служить корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами). Например, не может быть получено в результате последовательного выполнения арифметических действий и возведений в любые рациональные степени. Как вы уже знаете, число это принято обозначать, как 2p. Раньше это могло вызвать определённый дискомфорт, ибо «число» это оказывалось вне имевшейся у вас в наличии числовой системы (Q). Сейчас же это не должно вас смутить, особенно после прочтения «лирического отступления о десятичных дробях». Итак, каждому углу соответствует точка А пересечения его луча, отличного от ОХ, с единичной окружностью, а этой точке – длина дуги ЕА окружности, считая от точки Е(1,0) до А против часовой стрелки. Таким образом, углу 360° соответствует вся окружность – радианная мера такого угла равна как раз 2p. Радианная мера развёрнутого угла ровно p, прямого угла -p:2 и т.д.

Углы в тригонометрии принято считать в радианах, так что sin1 – это не синус угла в 1° (почти ноль), а синус угла, чуть меньшего, чем p:3=60°.

Упражнение 47.

Исходя из данных определений и положений точек на тригонометрической (единичной) окружности, считая, что для некоторого данного угла a, 0£a£p/2 sin a=a, cos a=b найти значения: a) sin(-a); cos(-a) b) sin(p+a); cos(p+a)

Дата добавления: 2015-08-09