Линейное действительное пространство. Линейная зависимость и независимость

Элементарные преобразования матриц. Произведение матриц.

Определители матриц. Основные свойства определителей матриц. Вычисление матриц, минор и алгебраическое дополнение.

Обратная матрица. Вычисление и свойства

Ранг матрицы, вычисление

СЛАУ. Исследование СЛАУ

Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера решения СЛАУ

Метод Гауса

Матричный метод решения СЛАУ

Системы лин. Однородных уравнений

Свойства линейных операций над векторами

Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Действия над векторами, заданными координатами

Вычисление координат вектора АВ по координатам точек

Скалярное произведение двух векторов, свойства, вычисление

Линейное действительное пространство. Линейная зависимость и независимость

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;
4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;
5) 1∙ x = x;
6) α(β x) = (αβ) x (ассоциативность умножения);
7) (α + β) x = α x + β x (дистрибутивность относительно числового множителя);
8) α(x + y) = α x + α y (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Пусть будет линейное пространство над полем и . называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним , называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается , а во втором .

Дата добавления: 2015-08-09