Расчёт погрешностей для величин измеренных в первом задании.

После подстановки численных значений времени в формулы (13) и (15) были получены следующие результаты:

Для h = 2 м

∆t(m₁) = 0.2 с, ε = 0.034; ∆t(m₂) = 0.2 с, ε = 0.042; ∆t(m₃) = 0.2 с, ε = 0.057.

Для остальных высот значение абсолютной погрешности будет приблизительно таким же, и её расчёт не имеет смысла.

Все полученные результаты запишутся в виде t = t_ср ± ∆t.

Расчёт погрешностей для величин измеренных во втором задании.

Результаты расчетов приведены в таблице 5.

∆m, гр	∆t, c	ε	∆m, гр	∆t, c	ε
m1 + m2 + m3 + m4	0.13	0.054	m1 – m2 + m3 + m4	0.05	0.015
m1 + m2 – m3 + m4	0.11	0.036	m1 + m2 + m3 – m4	0.08	0.029
m1 + m2 – m3 – m4	0.10	0.029	m1 – m2 + m3 – m4	0.15	0.035
m1 – m2 – m3 + m4	0.12	0.024	m2 + m3 + m4 – m1	0.15	0.013

Таб. 5

Все полученные результаты запишутся в виде t = t_ср ± ∆t.

Результаты расчётов погрешностей для ускорения приведены в таблице 6.

∆m, гр

а, м/с²

∆а, м/с²

ε

24.4

0.64

0.04

0.059

19.6

0.51

0.02

0.037

16.8

0.43

0.02

0.041

12.2

0.33

0.01

0.033

11.4

0.31

0.01

0.018

6.8

0.20

0.01

0.037

4.0

0.145

0.004

0.025

0.6

0.031

0.001

0.014

Все полученные результаты запишутся в виде а = а _ср ± ∆а.

Расчёт погрешностей для величин измеренных в третьем задании.

Результаты расчетов приведены в таблице 7.

∆m, гр	h, м	∆t, с	ε	∆m, гр	h, м	∆t, с	ε
m1+m2+m3+m4	1.4	0.03	0.015	m1+m2+m3+m4		0.02	0.016
0.8	0.07	0.068	0.6	0.03	0.033
0.4	0.02	0.030	0.2	0.02	0.091
m1+m2+m3	1.4	0.05	0.024	m1+m2+m3		0.04	0.028
0.8	0.02	0.017	0.6	0.04	0.041
0.4	0.03	0.043	0.2	0.02	0.049
m1+m2+m3	1.4	0.02	0.008	m1+m2+m3		0.03	0.024
0.8	0.04	0.035	0.6	0.03	0.036
0.4	0.03	0.046	0.2	0.02	0.061

Таб. 7.

Все полученные результаты запишутся в виде t = t _ср ± ∆t.

Расчёт коэффициента корреляции.

Теория указывает на наличие зависимости между величинами а и ∆m. Из формулы (11) получаем следующий вид этой зависимости:!

То есть, согласно теории, между величинами а и m должна существовать линейная зависимость. Проверим это утверждение, используя результаты эксперимента.

Рассчитаем коэффициент корреляции (R) для данной зависимости по формуле:

, (19)

где - пар числовых значений, полученных экспериментально (i =1,… ); и - средние статистические результаты измерений.

Подставив численные значения в формулу (19), получим численное значение приближенного значения корреляции:

R=0.999

Оценка коэффициента корреляции, столь близкая к единице, является убедительным доказательством наличия линейной зависимости между величинами и экспериментальным подтверждением теоретической формулы (18).

Теоретические расчёты F ₀ и α методом наименьших квадратов.

Для нахождений численных значений F ₀ и α экспериментально исследуется зависимость ускорения системы от силы тяжести, действующей на перегрузок, при постоянной обшей массе системы 2М + m. Иначе говоря, независимой переменной полагается произведение Х = mg, а зависимой является ускорение системы Y = а.

Формулу (11) полезно преобразовать:

(20)!

где ; (21)

Решая систему уравнений (21) относительно F ₀ и α, получим:

(22)

(23)

Согласно (20) зависимость а(mg) является линейной. Поэтому для нахождения величины γ и β был применён метод наименьших квадратов. В эксперименте измерялось 8 пар значений а и (mg), затем по формулам (24) и (25)

(24)

(25)

вычислялись приближенные значения параметров (21), полагая b» β, g» γ и х_k = (mg)_k, y_k = а_k.

После чего были найдены искомые величины F ₀ и α, а также их погрешности.

По формуле (26) были вычислены средние значения:

(26)

mg = 117.4 (грм/c²); а = 0.33 (м/с²)

и значения параметров (21). Так как результаты опытов содержат экспериментальные погрешности, мы получаем приближённые значения параметров:

β» 2.533·10^-3; γ» – 0.026;

Таким образом, линейная зависимость (20) ускорения системы от массы перегрузков выражается следующей приближённой функцией:

а = 2.533·10^-3 mg – 0.026

По формуле (20) получаем интересующее нас численное значение силы трения:

F ₀ » 10.454 грм/c²

Для вычисления погрешности ∆F ₀ были использованы абсолютные погрешности параметров линейной зависимости ∆β и ∆γ, так как F ₀ выражается отношением коэффициентов β и γ. Расчёт погрешностей ∆β и ∆γ ведётся по общим выражениям (27):

; (27)

используя данные таблицы 3, формулы (28),(29) и (30):

(28)

(29)

(30)

заменяя в них величины b и g числовыми значениями, а также вычисленное выше среднее значение mg, получим:

Q = 6.1 · 10^-4; S _b = 4.81 · 10^-5, S _g = 6.68 · 10^-3.

Видно, что Q – сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от линейной функции – весьма мала. Это доказывает справедливость гипотезы о линейном характере зависимости а (mg).

Выберем доверительную вероятность α = 0.95. Соответствующий коэффициент Стьюдента для α = 0.95 и (N-2) = 6 равен t_{0.95, 6} = 2.447. Следовательно, абсолютные погрешности найденных параметров линейной функции будут равны:

∆β = t _{0.95, 6} · S _b = 1.18 10^-4; ∆γ = t _{0.95, 6} · S _g = 1.64 · 10^-2.

Вид зависимости (22) таков, что проще сначала вычислить относительную погрешность величина F ₀:

(31)

где ε_β = 4.646 · 10^-3; ε_γ = 0.617; ε_F = 0.621.

Отсюда была вычислена абсолютная погрешность:

∆F ₀ = F ₀ · ε_F = 6.464 грм/c²

Отсюда можно записать: F ₀ = 10.454 ± 6.464 грм/c²

Из приведённых расчётов видно, что значительная погрешность при вычислении силы F ₀ в основном вызвана погрешностью определения свободного члена γ.

Проведённые расчёты можно проиллюстрировать графиком зависимости рис. 4, на котором в виде точек нанесены экспериментальные данные.

По формуле (23) было найдено численное значение α = 10.375 гр.

Примечание.

Масса перегрузка, уравновешивающая силу трения между осью и блоком, рассчитывается по следующей формуле:

m _ур = F ₀ / g = 1.1 гр.

Дата добавления: 2015-08-18