Диференційне рівняння молекулярної дифузії

Розглянемо елементарний об'єм dx, dy, dz в нерухомому середовищі, або в рухомому ламінарному потоці, через ребра якого за час dτпроходить деяка маса речовини.

Нехай через всі три грані входить в даний об'єм, відповідно, Мх, Му, Mz речовини за часdτ, рис. 3.11.

Mx+dx

Mz+dz

My+dy

My

Mx

Mz

X

Y

Z

Рис. 3.11 До виведення диференційного рівняння молекулярної дифузії

Позначимо концентрацію цільового компонента на лівій вертикальній грані – с, а на правій грані вздовж осі ОХ з урахуванням зміни концентрація цільового компонента буде , рис. 3.11.

Тоді за час dt через поверхню dF=dydz, розташовану перпендикулярно напрямку дифузійного потоку вздовж осі Х кількість речовини, що продифундує до елементарного об’єму згідно першого закону Фіка запишеться, як

Вздовж осі Х:

Вздовж осі Y:

Вздовж осі Z:

Через протилежні грані елементарного об’єму, кількості речовини, що виводиться з елементарного об’єму, позначимо: М_{х + dx}; М_{у + dy}; М_{z+ dz}.. Тоді вздовж осі Х через грань dydz виходить кількість речовини:

Отже, за час dτ в елементі dxdydz збільшується маса речовини на величину вздовж осі Х, яка визначиться за виразом:

Аналогічно визначається збільшення маси речовини вздовж інших осей в елементарному об’ємі:

Тобто, збільшення маси речовини по трьом осям становить:

dM = dM_x + dM_y+ dM_z, або

(3.74)

З іншої сторони, за час dτ концентрація зміниться на величину - Отже, приріст у елементарному об'ємі дорівнює:

(3.75)

Прирівнюючи праві частини рівнянь (1.74) і (1.75), отримаємо диференціальне рівняння молекулярної дифузії:

(3.76)

Дата добавления: 2015-08-18