Диференціальне рівняння конвективної дифузії. Другий закон Фіка

Розглянемо перенос речовини за рахунок конвективної дифузії велементарному об'ємі, рис. 1.12.

Рис. 3.12 До виведення диференційного рівняння конвективної дифузії

Позначимо концентрацію речовини на лівій грані С, тоді на правій грані, з врахуванням приросту концентрації буде: (вздовж осі Х), відповідно зміна швидкості потоку вздовж осі х: на лівій грані: W_x і на правій:

Таким чином, через грань dydz вздовж осі Х, кількість речовини, яка надходить за рахунок конвективного переносу за час dτдорівнює:

М_х(к)=W_xcdydzdτ

Через праву грань відводиться за рахунок конвективної дифузії кількість речовини:

M_{x + dx(к)} =

Приймаємо, що

,

Враховуючи, що

Остаточно вираз для M_{x + dx(к)} =

Зміна маси в елементі вздовж осі X складе:

Аналогічно можна записати можна записати зміну маси в елементарному об’ємі

вздовж осей Y і Z.

Тоді загальна зміна маси в елементарному об’ємі за рахунок конвективної дифузії запишеться, як:

dM=dM_x+dM_y+dM_z= ,

або в розгорнутому вигляді

(3.79)

Для усталеного потоку справедливо:

(3.80)

Тоді рівняння (3.79) набуває вигляду:

(3.81)

Кількість цільового компонента, який надходить до елементарного об’єму за рахунок конвективної дифузії, повинна бути відведена через грані елементарного об’єму за рахунок молекулярної дифузії, тобто повинна виконуватись умова:

(3.82)

В іншому випадку концентрація цільового компонента в довільній точці об’єму dV була б змінною в часі, в той час, коли в усталеному процесі вона є тільки функцією координат, тобто

с = f (x, y, z)

Таким чином,

,

Тобто, виконавши відповідну підстановку, одержимо:

(3.83)

або в стислій формі:

Рівняння (3.83) являє собою дифференційне рівняння конвективної дифузії.

Рівняння виражає закон розподілення концентрації цільового компонента при усталеному процесі масообміну.

Для неусталеного процесу масообміну (але здійснюється в умовах стаціонарного руху фази), коли , права частина рівняння (3.83) повинна бути доповнена , яка виражає локальну зміну концентрації в часі. Тоді рівняння (3.83) набуває вигляду:

(3.84)

При масообміні в нерухомому середовищі W_x = W_y = W_z = 0 і рівняння конвективної дифузії перетвориться в рівняння молекулярної дифузії

або

Це рівняння має назву другого закону Фіка.

Дата добавления: 2015-08-18