Глава VII

Невозможность математического определения изме­рений. Почему математика не чувствует измерений? Полная условность изображения измерений степеня­ми. Возможность представить себе все степени на линии. Кант и Лобачевский. Различие неэвклидовой геометрии и метагеометрии. Где должны мы искать объяснения трехмерности мира, если верны идеи Канта? Не заключаются ли условия трехмерности мира в нашем воспринимательном аппарате, в нашей психике?

Разобрав теперь «отношения, которые несет в себе самом наше пространство», мы должны вер­нуться к вопросу о том, что же в действительнос­ти представляют собой измерения пространства? И почему их три?

Самым странным для нас должно представлять­ся то, что мы не можем определить трехмерность математически.

Мы плохо сознаем это, и это кажется парадок­сом, потому что мы все время говорим об измере­нии пространства, но это факт. Математика не чув­ствует протяжений пространства.

Возникает вопрос, как может такое тонкое ору­дие анализа, как математика, не чувствовать изме­рений, если они представляют собой какие-то ре­альные свойства пространства.

Говоря о математике, мы прежде всего должны признать, как основную предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей.

Если этого нет, если это не верно — то нет матема­тики. Это ее главная сущность, главное содержание. Выражать отношения, вот задача математики. Но отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей математики. А, b и c — это кредитные билеты, они могут быть настоящими, и могут быть фальши­выми, если за ними нет никакой реальности.

«Измерения» играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых кре­дитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить ника­кими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений.

Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей, то есть если линию назы­вают а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, называют а², и куб, стороны которого рав­ны этому квадрату, называют а³.

Это, между прочим, дало основание Хинтону строить теорию тессарактов, тел четырех измере­ний, а⁴. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому, что изображение «измерений» степенями совершенно условно. Все степени можно изобразить на линии. Возьмем отрезок а, равный пяти милли­метрам, — тогда отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а²; а отрезок в 125 милли­метров будет кубом, то есть а³.

Как же понять, что математика не чувствует из­мерений, — то есть что математическинельзя вы­разить разницу между измерениями?

Это можно понять и объяснить только одним — именно, что этой разницы не существует.

И действительно, мы знаем, что все измерения в сущности тождественны, то есть каждое из трех из­мерений можно по очереди рассматривать, как пер­вое, как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не есть математи­ческие величины. Все реальные свойства вещи мо­гут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств к другим свойствам.

Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесня­ют ее, — и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.

Если бы три измерения соответствовали дей­ствительно трем степеням, то мы имели бы пра­во сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за геомет­рией.

Но у нас нет даже этого. Изображение измере­ний степенями совершенно условно.

Вернее сказать — геометрия с точки зрения ма­тематики есть искусственное построение для разре­шения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.

Систему исследования «высшего пространства» Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и дру­гих исследователей неэвклидовой геометрии.

Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих ученых.

Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевс­кого.

Другие, наоборот, противопоставляют идеи Кан­та идеям Лобачевского. Так, Роберто Бонола в «Не­эвклидовой геометрии» говорит, что воззрениеЛобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:

Учение Канта рассматривает пространство как не­которую форму субъективного созерцания, необходи­мо предшествующую всякому опыту; учение Лобачев­ского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычно­му эмпиризму, возвращает геометрию в область опыт­ных наук*.

Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвк­лидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвк­лидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.

Результаты всей неэвклидовой геометрии, под­вергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в рабо­тах Больяйя, Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства.

Так, геометрия на плоскости принимаетвсе три аксиомы Эвклида, то есть:

1) прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;

2) каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств;

3) параллельные линии не встречаются. (Эта последняя аксиома обыкновенно выражает­ся по Эвклиду иначе).

В геометрии на сфере или на вогнутой поверхно­сти верны только две первые аксиомы, так как ме­ридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в

* Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия. СПб ., 1910, с. 77.

геометрии на вогнутой поверхности — меньше двух прямых.

В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая — о переносе фигур, уже невозможна, так как фигу­ра, взятая в одном месте неправильной поверхнос­ти, может измениться при переносе на другое мес­то. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.

Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометри­ческая аксиома есть закон данной поверхности.

Но что такое поверхность?

Заслуга Лобачевского в том, что он находил не­обходимым пересмотреть основные понятия геомет­рии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы пере­оценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как гео­метра, была только средством обобщения некото­рых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности по­верхности он, вероятно, совсем не думал.

Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и бли­зость к «сенсуализму» и «обычному эмпиризму», — а с другой стороны, можно думать, что Хинтон со­вершенно субъективно приписывает Гауссу и Лоба­чевскому, что они открыли новую эру в философии.

Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.

Лобачевский не выходит из сферы трех измере­ний.

Метагеометрия рассматривает сферу трех изме­рений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, по­нимавший отношение времени к пространству.

Точка трехмерного пространства есть разрез ме-тагеометрической линии. Линии, которые рассмат­ривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвк­лидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метаге-ометрические линии нельзя рассматривать как рас­стояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.

Рассмотрение возможных свойств линий, лежа­щих вне нашего пространства, их углов и отноше­ний этих линий и углов к линиям, углам, поверх­ностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.

Исследователи неэвклидовой геометрии не мог­ли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие по­верхности придумывал Лобачевский при своих ис­следованиях 11-го постулата Эвклида (о парал­лельных линиях, то есть собственно об углах, об­разуемых линией, пересекающей две параллель­ные) — одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщен ни в ка­кой поверхности и даже вообще в трехмерном про­странстве, — он не мог решиться. И поэтому — и он и очень многие другие геометры, создавая неэв-клидову геометрию, не могли выйти из трехмерно­го мира.

* Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия, с. 112, 113.

Механика признает линию во времени, то есть такую линию, какую никак нельзя представить себе на поверхности или как расстояние между дву­мя точками пространства, — эта линия берется в расчет при вычислении машин. Но геометрия ни­когда не касалась этой линии и имела дело всегда только с ее разрезами.

Теперь мы должны вернуться к вопросу: что такое пространство? — и посмотреть, ответили ли мы на этот вопрос.

Ответом было бы точное определение и объясне­ние трехмерности пространства.

Этого мы сделать не могли. Трехмерность про­странства осталась для нас такой же загадочной и непонятной, как прежде. По отношению к ней мы должны сделать одно из двух:

или принять ее как данное и прибавить это дан­ное к тем двум данным, которые мы установили вначале;

или признать неправильность нашего метода рас­суждения и попробовать другой метод.

Вообще говоря, исходя из принятых нами двух основных данных мира и сознания, мы должны установить, свойством чего является трехмерное пространство, свойством мира или свойством на­шего познания мира.

Начав с Канта, который утверждает, что про­странство есть свойство восприятия мира нашим сознанием, мы дальше уклонились от этой идеи и рассматривали пространство как свойство мира.

Мы допустили вместе с Хинтоном, что наше пространство в самом себе несет условия, которые позволяют нам установить его отношения к выс­шему пространству, и на основании этого предпо­ложения построили целый ряд аналогий, кое-что выяснивших для нас в вопросах пространства и времени иих взаимных отношений, но, как мы уже заметили, ничего не разъяснивших относи­тельно главного вопроса о причинах трехмернос­ти пространства.

Метод аналогий вообще довольно мучительная вещь. Вы ходите с ним по замкнутому кругу. Он помогает уяснить некоторые вещи и отношения ве­щей, но в сущности никогда и ни на что не дает прямого ответа. После долгих и многочисленных попыток разобраться в сложных вопросах при по­мощи аналогий, вы чувствуете тщетность всех ва­ших усилий, чувствуете, что с этими аналогиями ходите вдоль стены, — и тогда вы начинаете испы­тывать прямо ненависть и отвращение к аналогиям и искать прямого пути, непосредственно ведущего туда, куда вам нужно.

Если мы хотим идти прямым путем, не уклоня­ясь от него, мы должны строго держаться основных положений Канта. Если же мы с точки зрения этих положений формулируем приведенную выше мысль Хинтона, то получится следующее: мы в себе самих несем условия нашего пространства и поэтому в себе же должны найти условия, которые позволили бы нам установить отношения нашего пространства к высшему.

Иначе говоря, мы должны в нашей психике, в нашем воспринимательном аппарате найти условия трехмерности мира — и там же найти условия воз­можности мира высших измерений.

Поставив себе такую задачу, мы становимся на совершенно прямой путь и должны будем получить ответ на наш вопрос: что такое пространство и его трехмерность?

Каким образом можем мы подойти к решению этой задачи?

Совершенно ясно, что путем изучения нашего сознания и его свойств. Мы освободимся от всяких аналогий и станем на правильный и прямой путь к решению основного вопроса об объективности или субъективности пространства, если решим рассмот­реть психические формы, в которых нами познает­ся мир, — и посмотреть нет ли соответствия между ними и трехмерной протяженностью мира. То есть не вытекает ли из известных нам свойств нашей психики это представление трехмерной протяжен­ности мира с его свойствами.

Дата добавления: 2015-08-03