Метод дихотомии

Постановка задачи

Общий вид нелинейного уравнения:

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [a, b].

Всякое число, обращающее функцию f(x) в нуль, называется корнем уравнения (1). Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраиче­ские и трансцендентные.

Уравнение (1) называется алгебраическим, если функция f(x) является алгебраической. Уравнение (1) называется трансцендентным, если функция f(x) не является алгебраической.

Решить уравнение (1) означает следующее:

1) установить, имеет ли уравнение корни.

2) определить количество корней.

3) найти значения корней с заданной точностью.

Первые два этапа называют отделением корней. Отделение корней — процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (1) имеет только один корень. В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции F(x) и определить отрезки, на которых функция F(x) имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс (интервалы изоляции).

После определения интервалов изоляции прибегают к различным методам уточнения корней..

Методы уточнения корня

Метод дихотомии

Считаем, что отделение корней уравнения (1) проведено и на отрезке изоляции [а, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погреш­ностью e (рис. 1).

Рисунок 2. Метод дихотомии

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]: и вычисляем функцию . Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки. На рис. 3 это будет отрезок [а, ], т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а, b].

Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности e:

|x_n-x_n-1|<e

или когда значения функции f(x) (невязка) не станут достаточно малы

|f(x_n)|<e₁

Дата добавления: 2015-08-03