Уравнения движения лопатки

Рассмотрим определение частот собственных изгибных колебаний одиночной турбинной лопатки со свободной вершиной и жёстким крепле-нием хвостовой части на роторе.

Выберем ось координат «х», совпадающую с упругой осью, и вто-рую, ортогональную к ней ось «у», лежащую в плоскости колебаний лопатки. Начало координат совместим с корневым сечением лопатки.

При выводе дифференциального уравнения изгибных колебаний (см. рис. 2.1) лопатки применяются следующие допущения:

- поперечные смещения при колебаниях лопатки малы по сравнению с ее длиной, тогда отклонения точек упругой оси лопатки направлены пер-пендикулярно исходному положению оси;

A

x

y(x;t)

ℓ_л x

z

у

Рис. 2.1 Схема и геометрические параметры колебаний лопатки

- колебания происходят только в плоскости изгиба, перпендикулярной минимальной оси инерции профиля «х-х»;

- отсутствуют силы сопротивления движению лопатки (т.е.отсутствует работа демпфирующих сил, вследствие которых происходит необратимая потеря энергии колебаний лопатки путем преобразования ее в теплоту);

- возмущающие силы отсутствуют;

- лопатка нагружена только силами инерции собственной массы.

Отклонения точек упругой оси лопатки будут зависеть от текущей

координаты «х» и от времени «t», т.е. y = y(x;t). Принятые допущения позволяют воспользоваться известным дифференциальным уравнением упругой линии для балки переменного сечения:

(2.1)

где у – поперечное отклонение профиля лопатки на расстоянии «х» от корневого сечения в момент времени «t»;

Ј_хх(х) – минимальный момент инерции профиля на данном расстоянии «х» от корневого сечения;

M_xx(x) – изгибающий момент, действующий на данный профиль в рассма-триваемом сечении.

Уравнение показывает,что этому изгибающему моменту соответству-ет сила упругого сопротивления материала лопатки при её прогибе на величиину «у».

Дважды дифференцируя уравнение (2.1) по «х» находим

;

.

где Q(х) – поперечная сила в сечении, где определяется изгибающий

момент М_хх(х);

q(х) – интенсивность распределённой нагрузки при колебаниях.

При свободных колебаниях лопатка нагружена только силами инерции.

Распределение сил инерции, изменяющееся по высоте лопатки определя-ется как

(2.2)

где F(x) – переменная, в общем случае, площадь профиля лопатки;

ρ_m - плотность материала лопатки.

Тогда ρ_m F(x) – погонная масса лопатки (линейная плотность).

Для лопаток постоянного профиля: F(x) = F = const и J_xx(x) = J_xx = const.

Теперь можно записать дифференциальное уравнение движения лопатки в виде

; (2.3)

Левая часть этого уравнения характеризует силы упругого сопротив-ления, а правая – силы инерции, возникающие при колебаниях лопатки,

или

. (2.4)

Такая форма уравнения движения лопатки показывает, что возмуща-ющие силы отсутствуют. Выделим влияние совокупности физических и геометрических параметров лопатки и обозначим их а²: а² = EJ_xx/ ρ_m F,

где EJ_xx – жёсткость лопатки на изгиб.

Тогда

. (2.5)

Это уравнение определяет изменение прогиба упругой линии «у» как во времени, так и по высоте лопатки т.е. определяет форму её колебаний (форму изгиба упругой линии).

Решением данного уравнения являются гармонические функции

у = Х(Acos ωt + Bsin ωt); (2.6)

где Х – величина, определяющая форму колебаний (т.е. форму упругой линии лопатки) и представляющая собой функцию расстояния от корня лопатки до рассматриваемого сечения;

ω – круговая частота колебаний - количество колебаний за период 2π, т.е. ω = 2πf.

f - количество колебаний в единицу времени;

A,B - произвольные постоянные, которые могут быть определены для каждого частного случая.

Обозначив A= D sinα и B = D cosα решение уравнения движения ло-патки можно привести к виду: у = DХ sin (ωt + α), где DХ - амплитуда колебаний профиля в данном сечении от корня лопатки; α – его фаза. Это решение называется главным колебанием, при котором перемещение любой точки лопатки изменяется по гармоническому закону, а функцию Х= Х(х), определяющую форму упругой линии, называют главной формой колебаний, которая проявляется при каждой частоте главных колебаний и однозначно связана с ней.

Представим уравнение движения лопатки в форме, где текущее время t не фигурирует и будет заменено частотой. Дифференцируя выражение (2.6) дважды по «t» и четырежды по «х» получаем выражения

; (2.7)

. (2.8)

Подставив выражения (2.7) и (2.8) в уравнение движения лопатки (2.5) приведём его к виду:

(2.9)

Обозначая: , (2.10)

получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний лопатки постоянного сечения:

(2.11)

Частными решениями уравнения (2.11) являются sin kz; cos kz;

sh kz; ch kz, общее решение этого уравнения имеет вид

где постоянные С₁, С₂, С₃, С₄ определяются граничными условиями на кон-цах лопатки (т.е.на закрепленном и свободном концах). Заменяя значение координаты «х» на длину лопатки ℓ_л и избавляясь от неизвестных коэффи-циентов С_i в процессе преобразования уравнений, удовлетворяющих раз-личным граничным условиям, получаем решение уравнения свободных колебаний в виде трансцендендентного уравнения

или .

Это уравнение имеет бесконечное множество корней kℓ_л каждому из которых соответствуют вполне определенное значение частоты ω (которое называется собственной частотой колебаний) и форма колебаний упругой линии. Корни уравнения вычисляются приближенными методами или

определяются графически. Первые три из них имеют значения k₁ℓ_л=1,875; k₂ℓ_л=4,694; k₃ℓ_л=7,855 и соответствуют 1,2 и 3 тону колебаний незакручен-ной лопатки постоянного профиля со свободной вершиной на невращаю-щемся роторе. Используя уравнение (2.10) нетрудно вывести формулу для вычисления частот собственных колебаний

_. (2.12)

Для первого (основного) тона колебаний k₁ℓ_л = 1,875 статическая частота собственных колебаний составит

.

2.1.2 Главные частоты и формы колебаний лопатки

Формы колебаний лопатки каждого тона отличаются друг от друга количеством узлов, т.е. местами, где точки на упругой линии остаются неподвижными (см.рис.2.2).

Рис. 2.2 Формы колебаний одиночной лопатки: а, б, в – со свободной вершиной первого (основного) а₀, второго а₁ и третьего а₂ тона; г, д, е – - с шарнирно-опертой вершиной первого b₀, второго b₁ и третьего b₂ тона.

Формы колебаний одиночной лопатки со свободной вершиной назы-

ваются колебаниями типа «а», где индексы обозначают число узлов на динамической линии прогиба (т.е. без учёта узлов на концах лопатки).

Формы колебаний лопатки с шарнирно-опертой вершиной, имитиру-ющей граничные условия при наличии периферийных бандажных связей,

обозначаются как колебания типа «b», где индексы имеют тот же смысл, что и для колебаний типа «а».

Для лопатки со свободной вершиной 1 узловая форма соответствует 1му тону, 2-х узловая 2 му тону, 3-х узловая – 3 му и т.д. Для лопатки с за-крепленной вершиной 1-му тону соответствует 2-х узловая форма, 2-му – 3-х узловая и т.д.

При расчёте частот собственных колебаний лопаток постоянного по высоте профиля значения J_xx и F принимаются из чертежа, или по Атласу профилей [1]. Для лопаток переменного сечения эти величины могут быть определены по формулам

J_xx = 0,2 J_п.х+ 0,8 J_к.х; ℓ = ℓ_л + 0,35 В_к; F = 0,8 F_п + 0,2 F_к;

где ℓ - приведенная длина профильной части лопатки;

В_к - ширина лопатки у корня;

F_п и F_к - площади профилей у периферии и у корня;

J_п.х и J_к.х - соответствующие минимальные моменты инерции.

Соотношение первой и последующих частот собственных колебаний одиночной лопатки со свободной вершиной определяется зависимостью:

т.е., частоты собственных изгибных колебаний лопатки различных тонов имеют вполне определённое соотношение. Поэтому частоту собственных колебаний любого тона можно выразить через частоту колебаний первого (основного) тона лопатки со свободной вершиной. Для лопаток постоянно-го профиля имеют место зависимости (см.обозн. рис.2.2)

где: f_aо и f_bо - частоты первого (основного) тона лопаток со свободной и шарнирно-опертой вершинами. Частота fa_о соответствует одноузловой форме колебаний, а f_bо – двухузловой форме, причём двухузловые коле-бания f_a1 и f_bо имеют различные формы упругой линии и, следовательно, различные частоты, что видно из приведенных зависимостей.

Рассмотрим влияние геометрических и физических характеристик ло-патки на частоты собственных колебаний. Для геометрически подобных профилей справедливы зависимости J = α₁· b⁴ и F = α₂· b², где - b – хорда профиля; α₁ и α₂ - постоянные коэффициенты для профиля дан-ной формы. Тогда формулу для определения частоты собственных коле-баний можно записать в виде

Анализируя полученную зависимость можно сделать следующие выводы:

1) величина k_n зависит только от условий закрепления лопатки и поэтому не оказывает влияния на частоту собственных колебаний лопа-

ток различных конструктивных исполнений;

2) увеличение лины лопатки приводит к резкому снижению частоты её собственных колебаний;

3) увеличение хорды при неизменном профиле увеличивает частоту собственных колебаний в такое же число раз;

4) увеличение модуля упругости Е материала лопатки вызывает уве-личение частоты её собственных колебаний, а увеличение плотности ρ_m

приводит к снижению частоты.

Обычно при выборе материала лопатки изменение Е сопряжено с из-

менением ρ_m. Поэтому при оценке влияния свойств материала на частоту собственных колебаний лопатки нужно рассматривать не отдельные значе-ния Е и ρ_m, а отношение Е / ρ_m, которое для всех сплавов имеет примерно такое же значение, как и для стали (но, например, титановые сплавы имеют высокий предел усталостной прочности).

Дата добавления: 2015-08-05