Численное интегрирование.

Пусть требуется найти значение интеграла

. (16)

Из курса математического анализа известна формула Ньютона-Лейбница

, (17)

где - любая первообразная функции . К сожалению, довольно часто, воспользоваться формулой (17) не представляется возможным; например, в случае, когда первообразная функции не выражается через элементарные функции или задана таблично. В таком случае на помощь приходят формулы численного интегрирования или, как их называют квадратурные формулы. Простейшие формулы можно получить из наглядных соображений:

а). Если на рассматриваемом отрезке, то

.

Обычно в качестве точки выбирают середину интервала, тогда

. (18)

Формула (18) называется формулой центральных прямоугольников.

б). Если функция близка к линейной, то значение интеграла приблизительно равно площади трапеции

. (19)

Формула (19) называется формулой трапеций. Заметим, что если функция - линейная, то формулы (18) и (19) дают одинаковый результат. Более сложные квадратурные формулы с оценкой их погрешности можно получить при помощи аппарата интерполирования. Для этого выберем некоторые точки и построим по этим точкам интерполяционный многочлен . Будем считать, что

. (20)

Это и есть квадратурная формула.

Учитывая, что , получаем

, где

- погрешность квадратурной формулы.

Квадратурная формула точна для многочлена степени при любом расположении узлов . Однако, как и при численном дифференцировании в случае удачного расположения узлов можно надеяться на повышение точности. В частности, если узлы расположены симметрично относительно середины отрезка, то квадратурная формула точна для любой нечетной относительно середины отрезка функции. Перейдем к получению оценок погрешности квадратурных формул.

1. Формула прямоугольников.

В формуле прямоугольников (18) функция приближается интерполяционным полиномом Эрмита первой степени с кратным узлом.

. (21)

Обозначая , приходим к оценке погрешности

. (22)

2. Формула трапеций.

В формуле трапеций (19)

, (23)

откуда

. (24)

3. Формула Симпсона.

Чтобы получить формулу Симпсона, заменим функцию параболой, проходящей через точки , т.е. представим приближенно интерполяционным полиномом второй степени по узлам . Воспользуемся представлением полинома в форме Ньютона.

.

Проводя интегрирование, получаем формулу Симпсона

. (25)

Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (25), отметим, что, так как узлы симметричны, то она является точной для любой нечетной относительно центра отрезка функции.

Построим полином Эрмита третьей степени с кратным узлом в центре отрезка. Тогда

.

Учитывая вышесказанное,

,

поэтому

. (26)

4. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

На практике, при вычислении интеграла (16) обычно требуется, чтобы применение квадратурной формулы давало приемлемую точность, (как правило, известную заранее). В оценках погрешности (22), (24), (26) присутствует как длина отрезка - так и точность, с которой функция может быть приближена многочленом степени . В частности, если длина отрезка интегрирования не очень мала, то соответствующие оценки становятся малосодержательны. Как повысить точность?

1) попытаться с помощью замены свести вычисление интеграла по отрезку малой длины. Но тогда у подынтегральной функции вырастает значение производных и оценка погрешности практически не изменится,

2) добиваться увеличение точности за счет повышения степени многочленов, для которых эта квадратурная формула точна. Такой путь тоже весьма сомнителен: может оказаться, что функция имеет производные лишь малых порядков или за счет неудачного выбора узлов величина

может расти с ростом степени многочлена.

Поэтому обычно поступают следующим образом. Отрезок разбивают на равных частей длины , где , и на каждом отрезке применяют квадратурную формулу. Такие квадратурные формулы называются составными.

а. Составная формула прямоугольников.

. (27)

Ее погрешность, согласно (22) оценивается следующим образом:

. (28)

b. Составная формула трапеций.

, (29)

для погрешности, которой справедлива оценка:

. (30)

с. Для получения составной формулы Симпсона, отрезок разбивают на равных частей и применяют формулу Симпсона

на отрезке длины . В результате приходим к формуле

, (31)

где

. (32)

5. Квадратурные формулы Гаусса.

Так как квадратурные формулы строятся по принципу интегрирования интерполяционного многочлена, то при наличии узлов формула точна для любого многочлена степени . Однако на примере формул центральных прямоугольников и Симпсона видно, что при удачном выборе узлов точность повышается. Поставим задачу: по узлам построить квадратурную формулу точную для многочленов как можно более высокой степени. Имеем

. (33)

Пусть формула (33) точна для . Тогда, подставляя в (33) поочередно указанные функции, получаем уравнение с неизвестными. Если , то такие формулы называются квадратурными формулами Гаусса. Для простоты выкладок обычно рассматривается базовый отрезок . Решать систему для нахождения узлов и коэффициентов при малых можно напрямую, а при увеличении - довольно сложно.

Пример. .

.

Тогда

Откуда , и получаем формулу центральных прямоугольников.

Для решения поставленной задачи в общем случае нам понадобятся полиномы Лежандра, которые определяются формулами

. (34)

В частности

. (35)

Для полиномов Лежандра справедливы следующие свойства:

1. Полином Лежандра является полиномом -й степени, обладающим той же четностью, что и :

. (36)

2. Полином Лежандра имеет на интервале (-1,1) простых корней, которые располагаются симметрично относительно точки .

3. Любой полином степени ортогонален к полиному Лежандра :

. (37)

На доказательстве этих свойств мы останавливаться не будем.

Перейдем к построению квадратурных формул Гаусса. Возьмем в качестве узлов - корни полинома Лежандра и построим по ним квадратурную формулу

, (38)

которая точна для любого полинома степени . Так как любой многочлен степени можно представить в следующем виде ,

где

,

то, применяя квадратурную формулу (38), имеем:

(39)

Следовательно, квадратурная формула Гаусса (38) точна для любого многочлена степени .

Можно получить формулы для нахождения весовых коэффициентов , однако на практике, при небольших , коэффициенты вычисляются решая систему уравнений:

. (36)

Пример.

.

Тогда

.

Откуда .

Заметим, что сумма коэффициентов всегда равна двум.

Чтобы не пересчитывать коэффициенты и узлы интегрирования, существуют таблицы значений для различных на отрезке . Произвольный отрезок отображается на простой заменой переменной интегрирования

.

Можно показать, что для погрешности формулы Гаусса справедлива оценка

. (37)

Доказательство формулы (37) выходит за рамки нашего пособия.

Замечание.

Несмотря на более высокую точность по сравнению с квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона, квадратурная формула Гаусса представляет собой скорее теоретическую ценность - чем практическую. Дело в том, что формулы для вычисления узлов и весовых коэффициентов гораздо сложнее, чем в простых методах. Поэтому на практике использование составной формулы Симпсона оказывается более эффективной.

Упражнения для самостоятельного решения

1. Методом неопределенных коэффициентов построить формулу численного дифференцирования вида

.

Для какой точки формула имеет наибольший порядок аппроксимации?

2. Вычислить приближенно , используя многочлен наилучшего приближения , построенный по методу наименьших квадратов для функции заданной таблично:

.

3. Вычислить приближенно , используя формулы интерполирования, если .

4. С какой погрешностью вычисляется по обобщенным формулам прямоугольников и трапеций с шагом .

5. С помощью формулы Гаусса с 3 узлами вычислить . Найти погрешность ().

6. С каким шагом необходимо проводить вычисления по составной формуле Симпсона, чтобы погрешность при вычислении интеграла

не превышала ?

Дата добавления: 2015-08-05