А. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Представим искомый полином в виде

, (4)

где полиномы степени , удовлетворяющие условиям

,

. (5)

Поэтому

. (6)

b. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Для построения интерполяционного полинома Ньютона нам понадобится понятие разделенной разности.

Пусть в различных точках , известны значения функции . Разделенные разности нулевого порядка

есть значения функции ; разделенные разности первого порядка определяются равенствами

, (7)

разделенные разности второго порядка равенствами

, (8)

и в общем случае разности -го порядка определяются через разности -го порядка по формулам

. (9)

Имеет место равенство

. (10)

Доказательство проведем по индукции. При равенство верно исходя из определения (7). Пусть формула (10) верна при . Тогда

(11)

В равенстве (11) слагаемые содержащие и встречаются только по одному разу, причем с коэффициентами имеющими требуемый вид. Остальные встречаются дважды, и коэффициент при равен

,

что и требовалось доказать.

Перейдем к выводу формулы полинома Ньютона, Для этого перепишем интерполяционный полином Лагранжа в виде:

, (12)

здесь интерполяционный полином Лагранжа по узлам и . Полином

(13)

имеет степень и обращается в нуль в точках , поэтому его можно представить в виде

, (14)

где коэффициент при в полиноме .

Из (6) и (10) следует, что

. (15)

Учитывая (12)–(15), получаем

. (16)

Интерполяционный полином, записанный в виде (16) принято называть интерполяционным полиномом Ньютона.

Отметим, что в силу единственности решения системы (3), полиномы Лагранжа и Ньютона представляют собой различные формы записи одного и того же интерполяционного полинома.

2. Погрешность интерполирования.

Для того, чтобы оценить разность между и построенным интерполяционным полиномом , предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке .

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

, (17)

где

,

и выберем из условия , где - точка, в которой оценивается погрешность. Тогда

.

При таком выборе функция имеет нули в - х точках

. На основании теоремы Ролля, ее производная

обращается в нуль по крайней мере в точке. Повторяя аналогичные рассуждения, заключаем, что обращается в нуль хотя бы в одной точке , т.е.

.

Следовательно, в силу того что ,

, (18)

и остаточный член имеет вид.

, (19)

откуда

, (20)

где

.

Замечание.

Оценка (20) дает приемлемый результат, если точка находится на отрезке (интерполяция). В случае, когда точка лежит за пределами отрезка (экстраполяция), множитель резко возрастает. Поэтому на практике экстраполяцию стараются не применять или пользоваться полиномами невысокой степени.

3. Интерполяционный полином Эрмита.

Пусть в точках заданы не только значения функции , но может быть и значения производных:

. (21)

Требуется построить полином степени , где , удовлетворяющий условиям:

. (22)

Докажем, что такой полином существует и единственен.

Пусть

.

Условия (22) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений порядка .

Рассмотрим соответствующую однородную систему

. (23)

Выполнение условий (23) означает, что полином имеет не менее нулей с учетом кратности. Учитывая, что степень полинома равна , то это возможно лишь в случае, когда , т.е. однородная система (23) имеет только тривиальное решение .

Следовательно, неоднородная система уравнений (22) всегда совместна и имеет единственное решение. Аналогично предыдущему можно получить формулу погрешности интерполяции

, (24)

где

.

Для построения полинома Эрмита, удобно использовать аппарат разделенных разностей с кратными узлами. Строгое обоснование этого метода выходит за рамки нашего пособия, поэтому ограничимся простейшим примером.

Пусть требуется построить интерполяционный полином Эрмита по значениям:

.

При построении таблицы разделенных разностей с кратными узлами полагают:

и так далее.

Искомый полином имеет следующий вид

.

Далее

.

Откуда

.

4. Интерполирование сплайнами

С увеличением числа узлов интерполирования растет степень полинома, что приводит к росту объема вычислений, а чтобы оценка погрешности (20) была конструктивной, требуется высокая гладкость приближаемой функции. Поэтому в середине прошлого века весьма плодотворной оказалась идея использовать кусочно-полиномиальную интерполяцию при помощи полиномов третьей степени, так называемых кубических сплайнов.

Пусть на отрезке выбрано некоторое множество узлов

, (25)

в которых заданы значения функции .

Дата добавления: 2015-08-05