Численное дифференцирование.

Под численным дифференцированием понимают задачу вычисления приближенного значения производных функции по ее значениям , заданным в точках . Рассмотрим способы получения простейших формул численного дифференцирования. Для простоты изложения будем считать, что сетка выбрана равномерной, т.е. .

1. Использование интерполяционных формул.

Рассмотрим многочлен Лагранжа , построенный для функции по узлам .

. (1)

Отсюда получаем

. (2)

Это выражение можно принять за приближенное значение в любой точке . При выражение (2) называют левой производной в точке и обозначают ,

если же выбрать , то выражение (2) называют правой производной в точке и обозначают . Используем теперь для получения формул численного дифференцирования многочлен Лагранжа второй степени , построенный для функции по узлам .

(3)

Тогда

. (4)

При получаем центральную производную в точке

. (5)

Если выбрать , то получим формулу дифференцирования назад

. (6)

Формулу (6) часто используют при численном решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференцируя (4), получаем формулу для второй разностной производной, которая не зависит от выбора точки . Обычно берут .

. (7)

Перейдем к вычислению погрешности полученных формул. Для этого разложим функцию в ряд Тейлора с центром в точке , предполагая наличие достаточной гладкости .

Имеем

.

Откуда

, (8)

, (9)

, (10)

где

.

На основании этих оценок говорят, что выражение (2) аппроксимирует с первым порядком. Аналогично (5) и (7) имеют второй порядок аппроксимации. Отметим, что иногда вместо многочлена Лагранжа используют многочлен Эрмита.

Для приближенного вычисления производных более высокого порядка приходится использовать полиномы Лагранжа более высоких степеней, увеличивая количество узлов, участвующих в аппроксимации. Кроме того, нельзя заранее предсказать точность получаемых формул. Поэтому на практике часто используют другие способы построения формул численного дифференцирования, один из которых мы и рассмотрим.

2. Метод неопределенных коэффициентов.

Идея метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Выражение для производной k - го порядка в некоторой точке ищется в виде линейной комбинации значений функции в узлах :

, (11)

где - остаточный член, зависящий от функции. Коэффициенты выбираются из условия , когда функция . В результате для нахождения получаем систему линейных алгебраических уравнений:

…………………………..

(12)

………………………………….

.

Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля. Можно показать, что на равномерной сетке с шагом , имеющей узел, метод неопределенных коэффициентов аппроксимирует k - ю производнуюс порядком при условии достаточной гладкости функции . При некоторых дополнительных предположениях метод неопределенных коэффициентов может дать в тех же условиях формулы более высокого порядка точности. Рассмотрим следующий пример.

Пусть требуется построить формулу для вычисления второй производной функции в некоторой точке на равномерной сетке с узлами :

.

В нашем случае система (12) принимает следующий вид:

, (13)

решение которой

.

В результате получаем формулу

, (14)

правая часть, которой не зависит от выбора точки . При любом выборе точки формула (14) гарантирует погрешность аппроксимации первого порядка. Если к системе (13) добавить уравнение, соответствующее выбору , то получаем условие , которое выполняется только при . Таким образом, формула (14) для дает второй порядок аппроксимации. Это происходит за счет того, что узлы и симметричны относительно .

3. Некорректность операции численного дифференцирования.

Обратимся к формуле (2) для приближенного вычисления первой производной в точке . Для погрешности, возникающей при использовании этой формулы, справедлива оценка (8). Из этой оценки следует, что чем меньше , тем точнее вычисляется значение . Однако это верно, если все исходные данные и все вычисления имеют абсолютную точность. На практике мы вместо точных значений имеем , и реальные вычисления по формуле (2) дают

.

Таким образом, вычислительная погрешность формулы (2) оказывается равной

.

Пусть для погрешностей справедлива оценка . Тогда

.

Поэтому для полной погрешности мы имеем оценку

. (15)

Минимум этого выражения достигается при и равен . Это означает, что если мы хотим, чтобы полная погрешность имела порядок , требуется выполнение условия , т.е. при точности данных , шаг .

Дата добавления: 2015-08-05