Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве.

1. Общие сведения

Прежде чем приступить к непосредственному обсуждению задачи о приближении, напомним некоторые определения.

Множество называется линейным нормированным пространством, если оно линейно и каждому элементу поставлено в соответствие вещественное число , которое называется нормой и удовлетворяет условиям:

a. , причем , только когда .

b. для любого числа .

c. .

Линейное нормированное пространство называется строго нормированным, если из равенства следует, что .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется некоторое линейное нормированное пространство , элемент и набор линейно- независимых элементов .

Требуется найти наилучшее приближение для некоторой линейной комбинацией , то есть, найти элемент

такой, что

.

Если такой элемент существует, то он называется элементом наилучшего приближения. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. В любом нормированном пространстве существует элемент наилучшего приближения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. ([2 ]). Рассмотрим функцию

. (39)

Так как

,

то функция является непрерывной функцией переменных при любых . Функция

,

непрерывная на замкнутом множестве :

, (40)

достигает своей нижней грани в некоторой точке .

Учитывая линейную независимость , приходим к выводу, что . Для любого ненулевого набора чисел справедлива оценка:

, где

.

Пусть . Функция непрерывна на множестве :

(41)

следовательно, в некоторой точке

достигает своей нижней грани . Очевидно, что

.

За пределами множества

.

Таким образом,

для любого набора чисел . Теорема доказана.

В произвольном нормированном пространстве элементов наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Теорема 2. В строго нормированном пространстве существует единственный элемент наилучшего приближения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два элемента такие, что

. (42)

Так как

,

то

.

Учитывая, что пространство строго нормированно, получаем

.

Откуда, на основании (42), и . Получаем противоречие.

Задача нахождения элемента наилучшего приближения в произвольном нормированном пространстве является трудноразрешимой. В данном пособии мы ограничимся рассмотрением двух наиболее интересных пространств.

2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве.

Напомним, что линейное пространство называется гильбертовым, если в нем введено скалярное произведение. Легко устанавливается, что гильбертово пространство с нормой является строго нормированным и, как следует из теорем 1, 2 в нем существует единственный элемент наилучшего приближения, задача нахождения которого, сводится к решению некоторой системы линейных уравнений.

Пусть система линейно независимых элементов гильбертова пространства и Требуется найти наилучшее приближение элемента по системе .

.

Рассмотрим функцию

. (43)

Из свойства скалярного произведения следует, что

.

Задача нахождения наименьшего значения функции приводит нас к системе уравнений

(44)

или в матричном виде

, (45)

где - матрица Грамма системы с элементами ,

.

Из курса линейной алгебры известно, что в случае линейной независимости системы , матрица Грамма невырождена. Следовательно, система (45) имеет единственное решение. Наиболее просто задача решается в случае ортонормированной системы , где

Замечание. Если систему уравнений (44) переписать в виде

,

то отсюда можно сделать вывод, что наилучшее приближение элемента по системе является ортогональной проекцией элемента на подпространство .

Рассмотрим некоторые примеры.

2.a. тригонометрический ряд Фурье.

Пусть в пространстве выбрана система функций :

.

Система ортогональная и наилучшим приближением для будет функция

,

где

,

,

т.е. - отрезок классического тригонометрического ряда Фурье.

2.b. метод наименьших квадратов.

Пусть в некоторых узлах заданы значения функции . Требуется приблизить функцию на всем отрезке линейной комбинацией по системе линейно независимых функций :

.

На практике значения получены в результате проведения некоторых экспериментов и, как правило, заданы с некоторой погрешностью, причем число . В такой ситуации требовать выполнения равенства вообще говоря не имеет смысла.

Поэтому поступают следующим образом: число функций

выбирают не очень большим (), и в каждой точке вычисляется отклонение

.

Рассмотрим функцию

,

и в качестве наилучшего приближения возьмем функцию

,

где коэффициенты выбираются из условия

.

Такой способ приближения получил название метод наименьших квадратов. Покажем, что указанный метод можно трактовать как нахождение элемента наилучшего приближения в некотором евклидовом пространстве.

Пусть - - мерное пространство числовых векторов

. Введем в скалярное произведение по формуле

.

Тогда приближение по методу наименьших квадратов можно трактовать как нахождение наилучшего приближения для вектора : по системе векторов , что приводит к поиску решения системы (45), где

.

2.c. решение систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей.

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений

, (46)

- матрица , где число строк больше числа столбцов .

Такие системы, как правило, несовместны. Будем искать наилучшее приближение к вектору правых частей по системе векторов, которые являются столбцами матрицы .

. (47)

В результате коэффициенты в (47) находятся как решение системы уравнений (45), которая приобретает вид

. (48)

Найденное таким образом решение, называется псевдорешением системы уравнений (46).

3. Наилучшее равномерное приближение.

Если норма в линейном нормированном пространстве определена не через скалярное произведение, то задача нахождения элемента наилучшего приближения значительно усложняется и в общем случае становится практически неразрешимой. В нашем пособии мы рассмотрим лишь некоторый частный случай.

Пусть - пространство ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке , с нормой

. (49)

Будем искать наилучшее приближение по системе многочленов

.

Согласно теореме 1, существует такой многочлен , что

(50)

для любых многочленов степени .

Многочлен называется многочленом наилучшего равномерного приближения (МНРП).

Конструктивных методов нахождения такого многочлена нет. Однако установлены необходимые и достаточные условия того, что многочлен является МНРП для непрерывной функции.

Теорема Чебышева. Для того, чтобы многочлен был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существование на по крайней мере точек таких, что

, (51)

одновременно для всех .

Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, принято называть точками чебышевского альтернанса.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего пособия

Пространство не является строго нормированным, поэтому вопрос о единственности элемента наилучшего приближения остается открытым, однако справедлива следующая теорема.

Теорема единственности .Многочлен наилучшего равномерного приближения непрерывной функции единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что существуют два многочлена степени наилучшего равномерного приближения:

.

Отсюда

.

Следовательно, многочлен также является многочленом наилучшего равномерного приближения. Пусть - соответствующие этому многочлену точки чебышевского альтернанса. Тогда

или

. (52)

Так как , то равенство (52) возможно лишь когда

,

т. е. два различных многочлена степени совпадают в точках. Получили противоречие.

Замечание.

В случае, когда функция не является непрерывной, теорема единственности, вообще говоря, неверна:

Например, для функции , многочленом наилучшего равномерного приближения среди многочленов степени не выше первой будет любой полином .

Рассмотрим задачу, нахождения МНРП степени для функции

на отрезке . Для этого нам понадобятся многочлены Чебышева.

Многочлены Чебышева , определяются соотношениями

.

Легко видеть, что старший член при есть . Можно доказать, что при . Вернемся к нашей задаче. Справедливо равенство

.

Тогда многочлен и есть МНРП для .

Действительно, так как

,

то точки

,

максимума модуля разности образуют чебышевский альтернанс на отрезке .

Упражнения для самостоятельного решения

1. Построить интерполяционный многочлен второй степени в форме Лагранжа для функции по ее значениям в точках . Вычислить его значение в точке , найти погрешность и сравнить ее с теоретической априорной оценкой.

2. Построить кубический сплайн для функции на отрезке с узлами Вычислить

3. Построить интерполяционный многочлен по значениям функции и ее производных

4. В пространстве алгебраических многочленов степени не выше первой построить наилучшее приближение к функции заданной таблично

5. С какой погрешностью можно найти , если известны точные значения ?

6. Для функции построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени не выше второй на отрезке .

7. Функцию на приблизить многочленом первой степени в смысле

а) наилучшего равномерного приближения;

б) наилучшего приближения в .

Оценить погрешность .

8. Для функции построить многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени на отрезке .

Дата добавления: 2015-08-05