Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

Тема 8. Приложения определенного интеграла

Разберите решение задачи 15 и 16.

Задача 15. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций

Решение:

1. Найдём точки пересечения графиков функций то есть решим уравнение . Получим: Построим криволинейную трапецию – см. рис. 7.

2. Вычислим площадь криволинейной трапеции:

Задача 16. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:

(1)

Решение:

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = f(x) между точкамис абсциссами х = а и х = b, вычисляется по формуле

(2)

Из уравнения эллипса (1) находим

Производная Используя формулу (2), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, положим

Тогда z = 0 при х = 0 и при х = 2.

Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

Разберите решения задач 23, 24 из данного пособия.

Задача 23. Найти общее решение уравнения .

Решение:

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при и есть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных . Применяем подстановку , где – некоторая функция аргумента .

Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид .

Сократив на , будем иметь:

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно и . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

; ;

; .

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или – общее решение данного уравнения.

Задача 24. Найти общее решение уравнения .

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где и – некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид

,

или

. (1)

Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, то есть выберем функцию так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид

. (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:

; ; ;

; , .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; . Интегрируя, получаем . Тогда – общее решение данного уравнения.

Дата добавления: 2015-08-05