Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть — бесконечно малые функции (б.м.ф.), при .

Определение 1. Если , то называется б.м.ф. более высокого порядка, чем , при , и обозначают при .

Пример 1. , при , так как

Определение 2. Если , где — конечное неравное 0 число, то и называют б.м.ф. одного порядка, при , и обозначают при .

Пример 2. , при , так как .

Определение 3. Если , то и называют эквивалентными б.м.ф. при , и обозначают при .

Пример 3. , при , так как .

Для вычислений будем использовать следующую теорему

Теорема. Предел произведения или частного б.м.ф. не изменится, если одну из них (или обе) заменить на эквивалентную б.м.ф.

Дано: — бесконечно малые функции, при ; , , при ; . Доказать: .

Доказательство. Найдем . Воспользуемся теоремой о пределе произведения, частного функций (объяснить, почему это можно сделать) и тем, что по условию , , при . В результате получаем:

, что и треб. доказать.

При вычислении пределов будем пользоваться следующими эквивалентнасцями, которые вытекают из I и II замечательных пределов

, , , ,

, , , ,

здесь — б.м.ф., при ( может быть ).

Пример 3. Вычислить .

Решение: с учетом замечательных пределов, заменим функции, стоящие в числителе и знаменателе, эквивалентными: , , при .

Тогда .

Дата добавления: 2015-08-05