Знакоопределенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если

>0 ( <0) при всех .

Пример. Квадратичная форма

является положительно определенной, т.к. >0 при всех .

Предыдущие примеры решены методом выделения полных квадратов. Но далеко не всякие примеры можно решить этим методом.

Пользуясь некоторыми критериями, можно заранее знать, будет ли квадратичная форма знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной).

Теорема. Симметрическая квадратичная форма тогда и только тогда положительно определена, когда ее матрица невырожденная и ее положительный индекс инерции равен рангу формы (рангу симметрической матрицы).

Доказательство. Пусть –квадратичная симметричная форма.

1. Допустим, что Тогда >0, >0,…, >0. Следовательно, >0 при любом

2. Допустим, что >0 при любом 0. Предположим, что, например, , то тогда при х ₁>0, х ₂=0, х ₃=0, …, х_n =0 получим, что Получили противоречие, что >0 при любом Теорема доказана.

Аналогичные рассуждении приводят нас к утверждению: симметрическая квадратичная форма отрицательно определена только тогда, когда ее матрица невырожденная и ее отрицательный индекс i_– равен рангу формы, т.е. <0, <0, …, <0.

Определение. Симметрическая квадратичная форма называется неотрицательно определенной, если при всех В этом случае

Определение. Симметрическая квадратичная форма называется неположительно определенной, если при всех В этом случае

Определение. Квадратичная форма называется неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае >0 и >0.

Дата добавления: 2015-07-26