Часть 1. Колебания

1. Гармонические колебания

1.1 Периодические процессы. Гармонические колебания

В природе мы часто наблюдаем различные периодические процессы: смена дня и ночи, фазы Луны, т.д. в быту и технике: колебяния маятника часов, вращение деталей машин – это всё периодические явления. В периодических процессах изменение какой-либо величины повторяется в том же самом виде через совершенно определенное время – период. Математическое определение периодической функции такое: если f (t) есть периодическая функция от t с периодом T, то при любом t функция f (t) =f (t+T), т.е. полностью повторяет себя.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В большинстве колебаний процессы не будут строго периодическими, они будут убывать. Периодические колебания представляют собой частный случай колебаний вообще. Обычно колебания возникают в системах, выведенных из состояния равновесия и в большинстве случаев возвращают систему в равновесие. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают несколько видов колебаний.

Свободными или собственными называются колеба-ния, происходящие в системе, предоставленной самой се-бе после того, как она выведена из состояния равновесия.

Вынужденными называют такие колебания, при которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются периодическим воздействием внешней силы, причем моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой системой.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы.

Система, совершающая колебания вокруг положения равновесия называется осциллятором.

Колебания называются гармоническими, если состоя-ние системы изменяется по гармоническому закону (зако-ну синуса или косинуса).

Для примера возьмем точку, равномерно движущуюся по окружности радиуса A (рис 1.1).

Поскольку линейная скорость точки постоянна, то и угловая скорость w постоянна (u = wA). Следовательно, угол a зависит от времени (a = wt).

Проекция точки на ось X изменяется со временем по синусоидальному закону, что и позволяет записать нам уравнение колебаний точки, т.е. уравнение гармонических колебаний:

, (1.1)

где – амплитуда колебаний, то есть максимальное откло-нение параметра системы от положения равновесия;

– фаза колебаний;

– начальнаяфаза колебаний;

– циклическая частота колебаний, называемая соб-ственной частотой;

– время, прошедшее от начала колебаний.

Гармонические колебания относятся к так называемым периодическим процессам, то есть к таким процессам, при которых состояние системы полностью повторяется через строго одинаковые промежутки времени – период :

(1.2)

В случае с маятниками период колебаний можно определить как время, прошедшее между двумя максимальными отклонениями маятника в одну сторону. Единица измерения периода – секунда. Период определяет и другие характеристики колебания, такие как частота:

, (1.3)

и циклическая частота

. (1.4)

Единицей измерения частоты является Герц, цикличес-кой частоты – радиан в секунду. Обычно радиан (как ве-личина безразмерная) не указывается и поэтому за еди-ницу измерения циклической частоты принимается с^-1. Тем не менее размерность единиц частоты и циклической частоты одна и та же: с^-1. Период колебаний можно выра-зить через вышеуказанные характеристики колебаний:

На рис. 1.2 показан график гармонических колебаний, описываемых формулой (1.1).

Скорость движения материальной точки при колеба-ниях определяется производной от смещения точки (в данном случае – координаты x) по времени:

. (1.5)

Максимальное значение скорости:

(1.6)

называют амплитудой скорости.

Аналогично определяется ускорение колеблющейся точ-ки:

, (1.7)

где амплитуда ускорения:

. (1.8)

Из уравнений (1.5) и (1.7) видно, что скорость и ус-корение материальной точки также совершают гармони-ческие колебания с частотой . Для определения раз-ности фаз между смещением точки, ее скоростью и уско-рением представим выражения (1.5) и (1.7) в эквивален-тном виде:

, (1.9)

. (1.10)

Из сравнения полученных уравнений с (1.1) видно, что скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение – на , то есть находится в противофазе со смещением .

Графики изменения скорости и ускорения со временем при гармонических колебаниях показаны на рис. 1.3.

На рис. 1.3 видно смещение фаз между скоростью и ускорением на , причем ускорение по фазе опережает скорость движения частицы.

Проанализируем подробней уравнение (1.7). Из срав-нения его с уравнением (1.1) видно, что

, (1.11)

или

. (1.12)

Перенося все слагаемые влево, получаем уравнение

, (1.13)

называемое дифференциальным уравнением свободных гар-монических колебаний. Свободные гармонические колеба-ния также называют просто гармоническими колебаниями, а уравнение (1.13) – дифференциальным уравнением гарм-онических колебаний (или дифференциальным уравнением гармонического осциллятора).

Зная зависимость между смещением и скоростью при гармонических колебаниях, можно найти остальные па-раметры колебаний, такие, как амплитуда A и начальная фаза .

Обозначим как x₀ положение колеблющейся точки в момент времени t=0 (на рис. 1.4 выбрано значение x₀=0). Величину скорости в момент времени t=0 обозначим как υ₀. Значения x₀ и υ₀ называются начальными условиями:

(1.14)

(1.15)

Подставляя t=0 и x₀ в уравнение (1.1) получим:

. (1.16)

Подставляя t=0 и в уравнение (1.5) получим:

. (1.17)

Тогда из (1.16) и (1.17) находим

, (1.18)

откуда получаем выражение для начальной фазы:

(1.19)

Для нахождения амплитуды из (1.16) и (1.17) найдем и :

, (1.20)

(1.21)

Складывая квадраты выражений (1.20) и (1.21), полу-чаем:

, (1.22)

откуда

(1.23)

Таким образом, зная начальные условия, можно найти значения амплитуды A и начальной фазы .

Механические гармонические колебания являются ре-зультатом двух свойств системы: действия возвращаю-щей силы и инерции.

Инерция противодействует изменению положения тела (или его скорости), возвращающая сила направлена в сто-рону, противоположную смещению тела.

Действие возвращающей силы рассмотрим на приме-рах механических осцилляторов.

Дата добавления: 2015-07-24