Квадратное уравнение и его корни

О. 3.1. Уравнение вида , где х – переменная, , , – некоторые числа, причем , называется квадратным.

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D <0, то уравнение не имеет действительных корней;

если D =0, то уравнение имеет корень двойной кратности ;

если D> 0, то уравнение имеет два различных действительных корня:

и (1).

При , (2).

При =1 квадратное уравнение называется приведённым и корни его находятся по формуле (3).

Теорема Виета. Если х₁ и х₂ – корни уравнения ,

то справедливы равенства .

Следствие 1. Если a + b + c = 0, то х ₁ = 1, х ₂ = .

Следствие 2. Если a-b + c = 0, то х ₁ = , х ₂ = .

Пример 2. Решить уравнение .

Δ Проверим сумму , следовательно, х ₁=1, х ₂=117.

Пример 3. Решить уравнение .

Δ В результате преобразований получим уравнение , где .Его корни: х ₁ = , х ₂ = 1.

Корень х ₁ = является посторонним для исходного уравнения. Таким образом, уравнение имеет единственный корень 1.

Пример 4. Доказать, что уравнение при всех значениях имеет корни разных знаков.

Δ Дискриминант уравнения D = b ²+4·17·237>0 для всех значений , поэтому уравнение имеет два корня. Обозначим эти корни через х ₁ и х ₂. по теореме Виета х ₁ · х ₂= , а это означает, что х ₁ и х ₂ имеют разные знаки для всех значений .

Пример 5. Не вычисляя корней х ₁ и х ₂ уравнения , найдите х ₁³+ х ₂³.

Δ Рассмотрим сумму кубов корней. Имеем: .

По теореме Виета: , а , тогда

.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-24