Смотрите в лекции

Простое гармоническое колебание описывается функцией S = A sin (wt + j ₀), где S –отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; A – амплитуда колебания, w –круговая частота; t –время; j ₀ –начальная фаза; Т = 2p/ w – период колебаний.

Опр.15. Функция A sin(wt + j ₀) (и ее график) называется простой гармоникой.

Опр.16. Колебания, получающиеся в результате наложения нескольких простых гармонических колебаний, называется сложным гармоническими колебаниями.

Например, в случае наложения двух простых гармонических колебаний, получаем:

S = A ₁sin(w ₁ t + j ₁) + A ₂sin(w ₂ t + j ₂ ).

Если w ₁ = w ₂ , то результирующее колебание будет снова простым гармоническим колебанием с той же частотой и тем же периодом.

Пусть w ₁≠ w _2. Периоды простых колебаний равны Если существует такое число Т, что Т = r ₁ T ₁, T = r ₂ T ₂, то результирующее колебание будет периодическим (r ₁, r ₂ – целые числа). Отсюда вытекает, что

Следовательно, частоты w ₁ и w ₂ должны быть соизмеримы. Если частоты несоизмеримы, результирующее колебание не является периодическим. Если частоты соизмеримы, то можно положить w ₁= r ₁ w ₁, w ₂= r ₂ w ₂.

Сложное колебание S = A ₁sin(r ₁ wt + j ₁) + A ₂sin(r ₂ wt + j ₂) будет периодическим с периодом Т = 2p/ w. Пусть

S = A ₁sin(r ₁ t 2p/ Т + j ₁) + A ₂sin(r ₂ t 2p/ Т + j ₂ )+...+ A_n sin(r _nt2p/ Т + j _n ). (3.1)

Частоты колебаний, из которых составляется сложное колебание (3.1), образуют гармоническую последовательность, т.е. частоты всех составляющих сложное колебание кратны основной частоте 1/ Т. Колебание с частотой 1/ Т называется первой гармоникой, с частотой 2/Т – второй и т.д.

Пусть w = 1, тогда Т = 2p. К этому всегда можно прийти, изменив масштаб по оси t, т.е. положив wt = t ^/. Суммы простых колебаний(w = 1)

S = A ₁sin(r ₁ t + j ₁) + A ₂sin(r ₂ t + j ₂ ) +... + A _nsin(r _n t 2p/ Т + j _n )

при различных значениях параметров А_k, j_k и целых чисел r_k и n приводят к разнообразным периодическим функциям, т.е. наложение простых гармонических колебаний создает разнообразие периодических движений, отнюдь не похожие на простые гармонические колебания. Подобрать простые гармонические колебания так, чтобы их наложение вызвало заранее данное периодическое движение, то есть представить всякое периодическое движение как сложное гармоническое колебание, можно, если привлечь к рассмотрению бесконечные суммы простых гармоник: ряды.

Удобнее рассматривать представление периодических функций в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности.

Следовательно, если требуется разложить на простые функцию с периодом 2π, необходимо, чтобы каждая из этих простых функций имела 2π в качестве одного из своих периодов, т.е. необходимо, чтобы ω = n, где n – целое.

Для решения ряда практических задач обычно требуется разложить сложную периодическую функцию на простые периодические функции вида

a cos ωx + b sin ωx,

имеющие период 2π / ω.

Дата добавления: 2015-07-24