С периодом 2p.

Опр.7. Функциональный ряд вида:

+ (a_n cos nx + b_n sin nx) (1)

называется тригонометрическим, причем a_n и b_n – действительные числа, не зависящие от x.

Пусть y = f (x) – произвольная периодическая функция с периодом Т = 2p, следовательно, функцию можно рассматривать в любом интервале длины 2p, например, (–p; p). На других участках оси (Ох) функция f (x) и ее разложение в ряд будет повторять свои значения и свое поведение в основном интервале.

Предположим, что для любого x Î(–p; p) периодическая функция оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного вида:

f (x) = + (a_k cos kx + b_k sin kx) (1.1)

Такое представление дает возможность находить численные значения функции, устанавливать различные свойства функций, решать дифференциальные уравнения и т.п.

Получим формулы для вычисления коэффициентов a_k и b_k.. Проинтегрируем почленно данное равенство в пределах от – π до π (законное в силу предложенной сходимости):

. (1.2)

Вычислим отдельно следующие интегралы:

если n – целое,

(1.3)

(1.4)

если n, m – целые, положительные

(1.5)

(1.6)

. (1.7)

С учетом формул (1.3) и (1.4) почленное интегрирование равенства (1.2) дает:

(1.8)

Умножая (1.1) на cos nx и интегрируя почленно от – π до π, с учетом (1.3), (1.5), (1.7), получим:

(1.9)

Аналогично, умножая (1.1) на sin nx и интегрируя почленно от – π до π и учитывая (1.4), (1.6), (1.7), получим:

(1.10)

Таким образом, из равенств (1.8), (1.9), (1.10) получим выражения для нахождения коэффициентов.

Дата добавления: 2015-07-24