Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Читайте также:
  1. A. Методы измерения мертвого времени
  2. HR– менеджмент: технологии, функции и методы работы
  3. I. 2.4. Принципы и методы исследования современной психологии
  4. III. Методы оценки знаний, умений и навыков на уроках экономики
  5. III. Общелогические методы и приемы исследования.
  6. IV. Биогенетические методы, способствующие увеличению продолжительности жизни
  7. IX. Решить систему нелинейных уравнений

В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяют метод конечных разностей. Этот метод основан на допущении непрерывного скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности можно записать в виде уравнения в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид:

Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного поля была разработана Э. Шмидтом. Рассмотрим этот метод применительно к плоской стенке. Разделим эту стенку на слои одинаковой толщины которые будем обозначать номерами n-1, n, n+1. Время разобьем также на интервалы , которые будем обозначать к, к+1, к+2. В таком случае обозначает температуру середины n в течении к -промежутка времени.

Из рисунка следует, что в пределах слоя температурная кривая имеет два наклона. Следовательно, производная от температуры по координате должна иметь два значения, а именно:

,

.

Соответственно для второй производной получим:

, (1)

Производная от температуры по времени для слоя n имеет вид:

. (2)

Подставив уравнение 1 и 2 в дифференциальное уравнение, получаем:

или

.

Таким образом, зная распределение температур в теле для к интервала времени, можно найти t для последующего интервала времени.

Если интервалы времени и размер слоёв выбрать так, чтобы

,

то уравнение принимает вид:

.

Из уравнения следует, что является среднеарифметическим значений , поэтому так же просто уравнение решается и графически.

Значение интеграла времени определяется из соотношения:

.

При решении задачи важно выбрать , удобно для графического построения, затем построить распределение температур виде ломаной линии. Средняя точка 1 и 3 – получаем 2¢, 2 и 4- получаем 3¢. Для получения точек 0¢ и 1 необходимо учитывать влияние среды соответствующей точки R, ордината которой определяется температурой окружающей среды, а абсцисса по касательной .

Поэтому дополнительно наносится направляющая точки R и параллельно поверхности линия MN, отстоящая от нее на . Если теперь соединить точку 0 с R, то получим на MN точку а, а линия а-2 даёт точку 1¢ новой температурной кривой и т.д.

Причём, если значение а, в течение процесса изменяется, то можно это учесть, перенося положение точки R.

То есть, даже графически можно будет стоить технические задачи. Слабое место в том, что физические свойства тела принимаются постоянными.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Принципы стабильности теплового потока | Исследование процессов теплопроводности методом аналогий | Гидротепловая аналогия |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта| Метод элементарных балансов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)