Численные методы решения дифференциальных уравнений

В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяют метод конечных разностей. Этот метод основан на допущении непрерывного скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности можно записать в виде уравнения в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид:

Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного поля была разработана Э. Шмидтом. Рассмотрим этот метод применительно к плоской стенке. Разделим эту стенку на слои одинаковой толщины которые будем обозначать номерами n-1, n, n+1. Время разобьем также на интервалы , которые будем обозначать к, к+1, к+2. В таком случае обозначает температуру середины n в течении к -промежутка времени.

Из рисунка следует, что в пределах слоя температурная кривая имеет два наклона. Следовательно, производная от температуры по координате должна иметь два значения, а именно:

,

.

Соответственно для второй производной получим:

, (1)

Производная от температуры по времени для слоя n имеет вид:

. (2)

Подставив уравнение 1 и 2 в дифференциальное уравнение, получаем:

или

.

Таким образом, зная распределение температур в теле для к интервала времени, можно найти t для последующего интервала времени.

Если интервалы времени и размер слоёв выбрать так, чтобы

,

то уравнение принимает вид:

.

Из уравнения следует, что является среднеарифметическим значений , поэтому так же просто уравнение решается и графически.

Значение интеграла времени определяется из соотношения:

.

При решении задачи важно выбрать , удобно для графического построения, затем построить распределение температур виде ломаной линии. Средняя точка 1 и 3 – получаем 2^¢, 2 и 4- получаем 3^¢. Для получения точек 0^¢ и 1 необходимо учитывать влияние среды соответствующей точки R, ордината которой определяется температурой окружающей среды, а абсцисса по касательной .

Поэтому дополнительно наносится направляющая точки R и параллельно поверхности линия MN, отстоящая от нее на . Если теперь соединить точку 0 с R, то получим на MN точку а, а линия а-2 даёт точку 1^¢ новой температурной кривой и т.д.

Причём, если значение а, в течение процесса изменяется, то можно это учесть, перенося положение точки R.

То есть, даже графически можно будет стоить технические задачи. Слабое место в том, что физические свойства тела принимаются постоянными.

Дата добавления: 2015-07-20