Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта

1) Записываем в первой строке

2) Вычисляем тогда

3) Записываем во второй строке:

4) Вычисляем тогда

5) Записываем в третьей строке

6) Вычисляем тогда

7) Записываем в четвертой строке

8) Вычисляем тогда

9) В столбце записываем

10) Вычисляем

11) Получаем

Значения заносим в строку, помеченную индексом , и снова проводим вычисления по формулам (3).

			0,1	0,1
	0,05	1,05	0,11	0,22
	0,05	1,055	0,1105	0,221	0,05
	0,1	1,1105	0,12105	0,12105
	0,1	1,11034	0,12103	0,12103
	0,15	1,17085	0,13208	0,26417
	0,15	1,17638	0,113264	0,26528	0,051
	0,2	1,24298	0,12429	0,12429
	0,2	1,2428	0,14428	0,14428
	0,25	1,31494	0,15649	0,31298
	0,25	1,32105	0,15710	0,31421	0,049
	0,3	1,3999	0,16999	0,16999
	0,3	1,39971	0,16997	0,16997
	0,35	1,48469	0,18347	0,36694
	0,35	1,49144	0,18414	0,36829	0,049
	0,4	1,58384	0,19838	0,19838
	0,4	1,58364	0,19836	0,19836
	0,45	1,68282	0,21328	0,42656
	0,45	1,69028	0,21403	0,42806	0,05
	0,5	1,79767	0,22977	0,22977
	0,5	1,79743

Из шестого столбца таблицы видно, что шаг выбран правильно.

Таблица сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения уравнения.

x	Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутта	Точное решение
y	y	y
0,1	1,1	1,11034	1,11034
0,2	1,22	1,2428	1,2428
0,3	1,362	1,39971	1,3997
0,4	1,528	1,58364	1,58365
0,5	1,721	1,79743	1,79744

Вывод: анализируя полученные результаты, мы можем сказать, что самым точным из двух методов приближенного решения дифференциального уравнения явяляется метод Рунге-Кутта, метод Эйлера дает грубые ошибки. Метод Рунге-Кутта дает практически точное решение дифференциального уравнения, но требует большего объема вычислений, чем предыдущий метод.

Рисунок 1 – График сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке и шагом .

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: «Наука», 1978. Т.2.

2.Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. и др.«Высшая математика в упражнениях и задачах». М.: «Наука», 1980. Т.2.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2003.

Виолетта Ивановна Тайц

Олеся Владимировна Камозина

Ирина Александровна Котова

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы по теме: «Приближенные методы решения дифференциальных уравнений»

для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения всех специальностей

Лицензия НД № 14185 от 6.03.2001 г.

Формат 60 94 1/16. Тираж 30 экз. Печ. л. – 1,1

Брянская государственная инженерно-технологическая академия.

241037, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно-издательский

отдел. Подразделение оперативной печати.

Подписано к печати ____________________ 2011 г.

Дата добавления: 2015-07-20