Метод элементарных балансов

Поставив задачу, найти метод расчета нестационарной теплопроводности с учетом зависимости от температуры коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости. Ваничев разработал метод элементарных балансов, сущность которого:

Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры с известной степенью точности может быть принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами . Серией таких параллелепипедов можно описать контуры всего тела. Расчетными точками в этом случае являются углы параллелепипедов.

Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим t. Температуры в средних точках на расстоянии обозначим и т.д. Температура расчетной точки через . Пусть заданы изменения параметров с и l в зависимости от температуры и краевых условий. Требуется определить температуру во всех расчетных точках во все последующие моменты времени.

При решении этой задачи расчетные формулы можно получить исходя из закона Фурье и Ньютона и составлению элементарных балансов группы элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело.

Рассмотрим случай, когда расчетная точка окружена со всех сторон твердой средой. Процесс распространения теплоты определяется числовыми значениями трех параметров: коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости и плотности. Плотность изменяется незначительно и во всех других рассуждениях .

Коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость принимаются линейными функциями температуры:

.

То обстоятельство, что рассматриваемые объемы очень малы по сравнению с размерами системы, то можно сделать допущение:

а) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскости, равноотстоящие одна от другой;

б) средний за время тепловой поток через какую-либо поверхность, пропорционален начальному в пределах элемента времени температурному градиенту. Составим уравнение теплового баланса…. Элемента со сторонами , температура в центральной точке является расчетной . Элемент находится в центре группы из 8 подобных.

Количество теплоты, вошедшее в элемент за время через левую грань параллельную плоскости y0z, т.е. грань лежащую в плоскости, выражаемой уравнением , по закону Фурье равно:

.

За это же время через другую грань элемента поступает количество теплоты:

.

Количество теплоты через другие плоскости: x0y, x0z

,

,

,

.

В силу линейного характера изменения температуры в пределах расчётных элементов справедливы равенства:

и т.д.

С учётом этого равенства можно переписать:

, , , .

Арифметическая сумма количества теплоты, вышедшего за время , через грани в элемент, равна увеличению его энтальпии.

Это может быть выражено:

;

Подставляем в это уравнение значения , соединяя его относительно получаем:

;

где ,

,

,

.

Пользуясь полученной формулой, можно по известному начальному распределению температур последовательно найти значения t в следующие моменты , , и т.д.

Данная формула справедлива только в том случае, если среда однородна.

Наибольшую сложность выбор и - реально слишком большие, ­погрешность¯ - очень много вычислений.

Задача, стр. 285, 1956, Михеев

Дата добавления: 2015-07-20