Производные и дифференциалы высших порядков

1.Производные высших порядков.

Пусть функция y = f (x) определена на множестве D и существует . Тогда на D определена функция . Если эта функция имеет производную в точке x Î D, то её называют производной второго порядка (или второй производной) функции f (x) в точке x.

Обозначается , , , .

Таким образом .

Если существует на D, то она является функцией от х.

Производная от этой функции в некоторой точке x Î D называется производной третьего порядка функции f (x) в точке x.

.

И так далее. Если , то на D определена функция . Производная от этой функции (если она существует) в точке x Î D называется производной n–го порядка функции f (x) в точке x.

.

Обозначается: , , , .

Таким образом, определяется индуктивно. Будем считать .

Заметим, что если существует в точке х, то в некоторой окрестности существует и все производные более низкого порядка k, k < n.

Если для функции y = f (x) в точке х существует , то говорят, что функция n раз дифференцируема в этой точке.

Функция y = f (x) называется n раз непрерывно дифференцируемой, если все её производные до n –го порядка включительно непрерывны в точке х.

2. Производные высших порядков для некоторых элементарных функций

1) y = f (x)= x^a, .

, , …

.

Частный случай:

,

.

2) y = f (x)= e^x

.

3) y = f (x)= a^x

, , …

.

4) y =sin x

,

,

,

, …

.

5) y =cos x .

6)

, , , , …

7) y =ln x

, , …

3. Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f (x) дифференцируема, а аргумент х либо является независимой переменной, либо представляет собой дифференцируемую функцию независимой переменной t: х = g (t). Тогда дифференциал функции f имеет вид:

.

Если для y = f (x) дважды дифференцируема, а х – либо независимая переменная, либо дважды дифференцируемая функция независимой переменной t, то функция дифференцируема, следовательно, имеет дифференциал: .

Определение 1 Дифференциалом второго порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала первого порядка и обозначается . Таким образом .

Дифференциал любого порядка определяется индуктивно. Предположим, что уже введён дифференциал (n -1)–го порядка , и что y = f (x) дифференцируема n раз. Аргумент х есть либо независимая переменная, либо n раз дифференцируемая функция независимой переменной t. Тогда функция дифференцируема и имеет дифференциал .

Определение 2 Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала (n -1)-го порядка.

Обозначается ; .

При вычислении дифференциалов высших порядков возможны два случая:

I. х – независимая переменная;

II. х = g (t), t – независимая переменная.

I. - приращение независимой переменной, не зависит от х. Следовательно, . Тогда

(1)

Аналогично: и так далее.

.

Дифференциал n –го порядка равен произведению n –й производной функции f на n –ю степень дифференциала независимой переменной х.

II. Пусть y = f (x), x = g (t) (t независимая переменная) – дифференцируемые n раз функции.

, .

Здесь уже dx зависит от t. Поэтому, Следовательно,

. (2)

(2) не совпадает с (1). Следовательно, свойство инвариантности для дифференциалов порядка выше первого нарушается (инвариантна только форма первого дифференциала).

Дата добавления: 2015-07-20