Я отправляю только доказательства теорем.

Теорема 1. Если в системе (1) функции j (t) и y (t) непрерывны на и j (t) на этом промежутке строго монотонна, то система (1) определяет непрерывную функцию y = f (x), определённую на .

Доказательство.

Так как j (t) непрерывна на , то по следствию из II теоремы Больцано-Коши. . Так как x = j (t) непрерывна и строго монотонна на , то она имеет обратную функцию , непрерывную и строго монотонную на . Тогда - композиция двух непрерывных функций на , следовательно, она является непрерывной на функцией.

Теорема 2. Пусть функция y = f (x) задана системой (1). Если функции j и y непрерывно дифференцируемы на , и на этом отрезке , то функция f дифференцируема на некотором промежутке D и справедлива формула

(2)

Доказательство.

Так как непрерывна и на , то одного знака на (I теорема Больцано–Коши). Следовательно (это будет доказано позже), j (t) строго монотонна на . Значит, существует обратная функция , x ÎD. Так как , то обратная функция дифференцируема .

Так как y = y (t), а , то - сложная функция. Она дифференцируема на D, так как j и y дифференцируемые функции, и её производная: .

Дата добавления: 2015-07-20