Кузнецов Ю.А., Петров В.(ст. гр.5621),Прилипко В.К.

Компьютерное моделирование

Физических задач.

Кузнецов Ю.А., Петров В.(ст. гр.5621),Прилипко В.К.

Движение частицы в центральном силовом поле.

В настоящее время в физике известны 4 фундаментальные взаимодействия. Эти взаимодействия суть: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Первые два взаимодействия: гравитационное и электромагнитное - отвечают за строение окружающего нас мира, доступное чувственному восприятию. Это как земной ландшафт, так и движение и форма планет солнечной системы и строение галактик, так и форма и строение тел в окружающем нас близком мире. Общим в указанных взаимодействиях является то что оба являются центральными (сила направлена к силовому центру), и оба подчиняются закону обратных квадратов. Так гравитационное взаимодействие определяется законом всемирного тяготения: cила притяжения F двух материальных точек с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга вычисляется по формуле:

, где – гравитационная постоянная в системе СИ.

Электромагнитное взаимодействие определяется законом Кулона:

, где системный множитель.

В виду исключительной важности (1) и (2) интерес представляет задача о движении тела под действием центральной силы обратно пропорциональной квадрату расстояния. По историческим причинам эта задача называется задачей (проблемой) Кеплера, так как решалась впервые И.Кеплером (1571–1630) на основе многолетних астрономических наблюдений Т.Браге (1546–1601).Им были сформулированы три закона:

1. Орбита любой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)

3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)

Решение этой задачи связано с довольно сложными математическими преобразованиями результатом которых является дифференциальное уравнение, описывающее движение тела. Решения этого уравнения, согласующиеся с начальными условиями- координатами и скоростью тела в начальный момент времени – траектории подчиняются законам Кеплера.

В настоящей работе предлагается иной подход к решению проблемы Кеплера. Он основан на проведении компьютерного эксперимента: есть силовой центр – заряд q1, положение которого зафиксировано в некоторой точке x0, y0 прямоугольной системы координат и есть частица, заряд которой q2, а масса m. Частице, находящейся в начальный момент времени в точке с координатами x1,y1 сообщают в определенном направлении скорость Vo и наблюдают за ее траекторией.

Перед наблюдателем ставятся три задачи. Первая задача состоит в установлении связи между параметрами траектории и начальными условиями. По сути этот означает проверку законов Кеплера.

Вторая задача исследования: подобрать такие начальные условия, чтобы частица двигалась по заданной траектории (по орбите определенной формы: эллипсу, параболе, гиперболе).

И третья задача – провести опыт по рассеянию альфа частиц на неподвижных ядрах атомов, т.е. воспроизвести опыт Резерфорда (1911 г.) и интерпретировать его результаты.

В основе предлагаемого подхода лежит машинный расчет траектории заряженной частицы, основанный на применении второго закона Ньютона. А именно, вначале рассчитывается ускорение частицы, на которую действует сила кулоновского притяжения(отталкивания) со стороны неподвижного заряда q1:.

По найденному значению ускорения рассчитывается скорость, и координата частицы спустя промежуток времени dt:

. Далее расчет повторяется: рассчитывается новое значение кулоновской силы, затем ускорение, скорость и новое значение координаты. В результате расчета вычисляется траектория частицы, зависимость положения частицы (радиус-вектора) от времени, зависимость от времени скорости частицы. Этот несложный алгоритм реализован в программе “Кеплер”, написанной на языке программирования Матлаб.

Теория.

Дадим упрощенный вывод основных соотношений. Вывод основан на использовании законов сохранения энергии и момента импульса частицы. Рассмотрим

задачу о движении частицы массой m и несущей заряд q2 в электрическом поле неподвижного заряда q1, противоположного знака, расположенного в начале 0 (см. рис.1) Пусть в некоторый момент времени, частица имеет скорость v, в положении определяемом радиус-вектором r. Потенциальная энергия заряда q2 в электрическом поле заряда q1

равняется .

Из закона сохранения энергии следует:

. Введем величину . Разделив левую и правую части на массу частицы, получим:

(1)

Величина С имеет смысл энергии, приходящейся на единицу массы. Для полного описания орбиты недостает еще одного уравнения. Мы воспользуемся тем фактом, что поскольку сила, действующая на заряд q2, всегда направлена в точку 0, то момент импульса частицы относительно этой точки является константой. Обозначив через Р длину перпендикуляра, восстановленного на направление касательной к траектории (см.рис.1) –эта величина носит название прицельного параметра, мы можем записать

:

(2)

Разделив на m, получим:

где h – константа.

Уравнения (1) и (2) позволяют определить вид траектории. Исключаем v из (2) и, подставив полученное выражение в (1), получим:

(3)

Полученное соотношение известно в литературе как pedal equation. Из математики известно, что уравнение для конических сечений, если начало поместить в фокусе имеет вид;

(4)

Сравнивая (3) и (4), видим, что по форме они совпадают. Если знак С отрицательный, то движение происходит по эллипсу. Если же С > 0, то тело движется по гиперболической траектории.

В том случае если С=0, то уравнение конического сечения должно иметь вид:

, а это уравнение параболы. (5)

.Рис. 2 Случай отрицательной энергии. Траектория – эллипс.

Рис.3 Случай положительной энергии. Траектория – гипербола.

Свяжем параметры возможных траекторий с величинами С, h и . Полагая, что в начальный момент времени известны скорость , радиус вектор и прицельный параметр , то из уравнения (1) получаем:

Рассмотрим 3 случая:

а) . Тогда C< 0 и уравнение (3) может быть записано в следующей форме:

сравнивая (3) с (4), видим, что орбита представляет собой эллипс с полуосями:

(5-a)

и величиной эксцентриситета e:

Отметим особо, что величина большой полуоси зависит от энергии частицы, в то время, как длина малой полуоси зависит еще и от h. Т.е. для всех возможных траекторий, проходящих через некоторую точку a зависит только от величины скорости, а b от ее направления.

Подставляя в последние формулы массу и заряд, получим параметры:

и , (6)

выраженные через начальные условия.

б) если , тогда С>0 и уравнение (3) может быть записано в виде:

. (7)

Это уравнение ближайшей к началу ветви гиперболы, параметры а и b которой вычисляются по тем же формулам, что и в случае эллипса с заменой –С на С.

в) когда движение происходит по параболе см. формулу (5).

Секторальная скорость. Секторальной скоростью называют векторную физическую величину d S численно равную площади сектора dS, проходимого радиус-вектором частицы в единицу времени (см.рис.4). Второй закон Кеплера отражает факт постоянства этой величины для данной траектории.

Рис.4

Вектор d S равняется половине векторного произведения r xd r, а секторальная скорость равняется производной по времени от этой величины

(8)

Так как для частицы, движущейся в любом центральном силовом поле момент импульса P ( количества движения), равный сохраняется, то и (8) также является величиной сохраняющейся и равной для любой точки траектории:

(9)

где - угол между векторами r и v. Эту формулу можно записать по иному, если воспользоваться формулой (2):

(9-a)

Отсюда вытекает важное соотношение: площадь замкнутой траектории равняется произведению (постоянной) секторальной скорости на период обращения частицы Т.

Так как площадь под кривой эллиптической траектории S равняется , то получаем формулу:

(10)

Третий закон Кеплера.

Формуле (10) можно придать несколько иной вид, если выразить малую полуось эллипса b через большую полуось а, воспользовавшись формулой (5-a), а именно возведя выражение для b в квадрат, и разделив на a получим:

отсюда . Далее, возведем (10) в квадрат и после несложных преобразований получим:

. Окончательно перепишем полученное соотношение между квадратом периода обращения Т и кубом большой полуоси а, получим третий закон Кеплера:

Проверка законов Кеплера

Задание 1.

Сообразуясь с теоретическими результатами предыдущего раздела провести “опыт” по бросанию частицы, меняя начальные условия таким образом, чтобы наблюдать переход траектории от гиперболической к эллиптической. Тем самым будет подтвержден первый из законов Кеплера.

Иницируем программу Matlab, а затем запускаем программу Keplervarstep.m, хранящуюся в папке work: вводим величины зарядов (они д. быть противоположного знака),Задаем координаты неподвижного центра- удобно положить их равными (0,0).Вводим координаты X и Y движущегося заряда и задаем массу частицы. Наблюдаем изменение формы траектории, фиксируя параметры кривых (a и b),

а затем по формулам (5) определяем значения параметров С и h.

Этот опыт проделать 4 раза – два раза для эллиптических орбит, один раз для параболической орбиты и один - для гиперболической.(Важное примечание. В случае движения по гиперболической траектории зачастую наиболее интересный участок траектории вблизи неподвижного центра составляет крайне малую долю всей траектории. Для его наблюдения необходимо воспользоваться функцией увеличения (zoom), имеющейся в графическом окне. Та же функция поможет получить точные значения координат и скоростей в любой момент времени)

Для одной из полученных траекторий по указанию преподавателя рассчитать потенциальную и кинетическую энергии частицы в двух точках траектории в моменты времени t1 и t2, заданные преподавателем.

Задание 2. Произвести расчет секторальной скорости для одной из рассмотренных эллиптических траекторий. При этом надо исходить из данных опыта по зависимости координат X и Y, и компонент скоростиVx и Vy от времени. Для двух моментов времени, указанным преподавателем определите величину радиус- вектора и вектора скорости и изобразите их на миллиметровой бумаге. Затем с помощью транспортира измерьте угол между ними, и по формуле (9) рассчитайте секторальную скорость.

Кроме этого проверьте соответствие формулы (10) данным “опыта”. Величина периода обращения частицы Т берется из временных графиков, например X(t).

Примечание. На стр. представлены результаты компьютерных опытов и подстрочные комментарии к ним..

Рис.5

Опыт 1- движение по эллипсу.

Условия опыта. Заряды противоположного знака 10^-6 Кл. Масса 10^-3 кг.

введите q0.например -10^-6 -10^-6

введите q1,например 10^-6 10^-6

массу движущегося заряда 10^-3

x-координата неподв. силового центра. 0

y-координата неподв. силового центра. 0

x1 начальная координата движущегося заряда 2

y1начальная координата движущегося заряда 5

угол бросания в градусах 180

модуль начальной скорости V0 0.5м/с

Число шагов N =40000

Energy = -0.0015 Дж

Рис. 6

. Опыт 2. Движение по гиперболической траектории. Кривые получены после многократного увеличения.

q0.например -10^-6 -10^-6

введите q1,например 10^-6 10^-6

масса движущегося заряда. 2*10^-3

x-координата неподв. силового центра. 0

y-координата неподв. силового центра. 0

x1 начальная координата движущегося заряда 10

y1начальная координата движущегося заряда 5

угол бросания в градусах 180

модуль начальной скорости V0 2

Число шагов N = 40000

Energy = 0.0032 Дж

Дата добавления: 2015-07-26