Кинетический момент твердого тела.

Кинетический момент (главный момент количеств движе­ния) системы материальных точек относительно неподвиж­ной точки О определяется формулой

(69)

Здесь векторы-радиусы проводятся из неподвижной точки О. Для твердого тела сумма в формуле (69) заменя­тся интегралом

(69а)

где интегрирование производится по объему, занимаемому твердым телом.

Пусть известна скорость некоторой точки А твердого тела (полюса) , а также его угловая скорость ; по известной формуле кинематики скорость любой точки твердого тела и ее вектор-радиус выражаются формулами

; (70)

где - вектор-радиус, проведенный из полюса А в эту точку. Подставляя формулы (70) в кинетический момент (69а), вынося векторы, не зависящие от положения текущей точки, за знак интеграла, получаем

(71)

Первые два интеграла в формуле (71) имеют простой смысл:

(72) для преобразования последнего интеграла (43) раскроем двойное векторное произведение, после чего используем свой­ство единичного тензора и определение тензора инерции (50); тогда

(73)

Учитывая результаты (72) и (73), приводим выражение кинетического момента твердого тела к окончательному виду

. (74)

Если за полюс взять центр инерции твердого тела, то и формула (74) упрощается

(75)

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, то и в результате имеем (76)

Умножая тензор инерции скалярно на вектор угловой скоро­сти (так как тензор инерции симметричен, то его можно умножать на вектор как слева так и справа)получаем развернутое представле­ние формулы (76)

(77)

Из этого последнего представления сразу следуют выра­жения для кинетических моментов твердого тела относитель­но координатных осей:

(78)

Тензорная формула (76) является краткой записью этих соотношений. Если оси х, у, z главные, то центробежные мо­менты инерции равны нулю и формулы (77) и(78) для этого слу­чая упрощаются:

(78а)

Из формул (78а) отчетливо видно, что кинетический мо­мент тела, вращающегося вокруг точки, не совпадает по на­правлению с вектором его угловой скорости; такое будет иметь место лишь в случае, когда тензор инерции явля­ется шаровым тензором.

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например, оси z, то

и формула (77) дает

. (79)

Дата добавления: 2015-07-17