Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.

Введенные формулами (33а), (34а) величины оказываются существенно необходимыми при изучении динамики враща­тельных движений твердого тела или системы тел. Эти ха­рактеристики инерции зависят как от положения нача­ла координат, так и от направлений выбранных коор­динатных осей. Однако в данной точке тела шесть величин вместе с суммарной массой М пол­ностью определяют его инерцию. Иначе говоря, зная эти ве­личины, можно найти момент инерции относительно оси про­извольного направления и центробежный момент инерции для пары новых (повернутых) осей, а также, при известной геометрии тела, перейти к инерционным характеристикам, определенным для другого начала координат.

Пусть требуется найти момент инерции относительного заданного направления (оси ξ), характеризуемого ортом . Моментом инерции системы материальных точек относи­тельно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси

(37)

Легко сообразить, что квадрат расстояния h,, можно подсчи­тать по формуле (рис. 53)

(38)

где

(39)

Запишем полученное выражение (39) иначе

(40)

Мы изменили порядок сомножителей во втором скалярном произведении и отбросили скобки; первое делать можно, а второе? При этом появилась новая величина , в которой два вектора перемножаются, но не скалярно и не векторно, а каким-то новым способом; такое умножение на­зывается диадным, а само произведение - диадой, которая представляет собой тензор второго ранга. Аналитическое определение тензора состоит в следующем: совокупность Зn величин (в трехмерном пространстве), преобразующихся при повороте координатной системы как произведения n координат, называется тензором n-го ранга. По этому определению диада будет тензором 2-го ранга, вектор -тензором 1-го ранга, а скалярная величина — тензором нулевого ранга.

Очевидно, что диада не изменится при перестановке ее сомножителей - это симметричная диада. Более общий случай получим, перемножая два разных вектора, например и ; диада уже не будет симметричнойи переставлять сомножители у нее нельзя: .

Так как векторы и можно представить в виде

то диада может быть записана в виде суммы девяти сла­гаемых

(41)

Здесь ….. элементарные диады, а коэффици­енты при них называются составляющими или компонентами тензора. Тензор второго ранга (диаду) можно записать также в виде квадратной матрицы. Так, для тензора (41)

(42)

Хотя развернутый вид (41) тензора и не имеет таблич­ного вида (42), однако положение каждой составляющей в таб­лице устанавливается сразу по ее множителю - элементар­ной диаде: левый орт указывает строку, а правый орт - стол­бец, орты соответствуют положению данной составляющей в матрице (42). Теперь легко понять неравенство ; пе­рестановка сомножителей в диаде означает замену строк столбцами (и наоборот) в матрице (42), а тензор будет транспонированным по отношению к первоначальному тен­зору .

Из теории матриц известно, что квадратную матрицу (42) можно умножить справа на вектор-столбец или слева на вектор-строку. Запись тензора в форме (41) позволяет эти операции свести к скалярному умножению ортов. Тензор второго ранга можно умножить скалярно как справа, так и слева на вектор а; при этом результат будет различным, так как при правом умножении тензора на вектор будут по­являться скалярные произведения правых ортов элементар­ных диад на орты вектора, а при левом умножении вектора на тензор в скалярных произведениях будут участвовать левые орты элементарных диад. В результате останутся орты элементарных диад, которые не участвовали в скаляр­ных произведениях, поэтому скалярное произведение тензора и вектора будет векторной величиной. Легко сообразить, что , где означает транспонированный тензор. В случае сим­метричного тензора транспонированный тензор равен перво­начальному и разница между правым и левым произведени­ями исчезает. В нашем случае симметричный тензор и его разверну­тое выражение типа (41) оказывается проще:

(43)

Если тензор (второго ранга) умножать скалярно на век­торы и слева, и справа, то участвовать в скалярных произве­дениях будут как левые, так и правые орты элементарных диад, и в результате получится скалярная величина. Именно: это мы имеем в формуле (40). Записывая эту формулу в виде

, (44)

где тензор представлен выше в виде (43), сразу понимаем, что в результате двойного скалярного перемножения в (44) исчезают те слагаемые, в которых встречаются произведе­ния (скалярные) разных ортов. Остающиеся слагаемые легко написать сразу; это будут те же компоненты тензора , что и представленные в формуле (43), только орты в этой фор­муле следует заменить на соответствующие проекции вектора . Тогда получим

(45)

Сравнивая результат (45) с формулой (39), убеждаемся и законности опускания скобок в формуле (40).

Простейшим тензором второго ранга будет единичный тензор:

(46)

Нетрудно сообразить, что диагональные элементы мат­рицы, соответствующей тензору (46), будут единицами, а остальные, недиагональные — нулями. Название «единич­ный тензор» совершенно оправдано, так как, умножая на него любой вектор (справа или слева - это безразлично), мы опять получим вектор :

=

Это свойство единичного тензора приводит к следую­щему интересному соотношению:

(47)

Соотношения (47) и (40) позволяют написать формулу (38) В ином виде

(48)

Далее, подставляя эту формулу (48) в интеграл (37), получаем следующее выражение для момента инерции

= (49)

Величина = , (50)

вошедшая в выражение для (49), представляет собой тензор инерции твердого тела в точке О. Вводя этот тензор, переписываем формулу (49) для момента инерции относи­тельно оси , заданной направлением орта , в очень про­стом виде

(51)

Если подставить развернутые диадные представлении тензора и в определение тензора и учесть формулы (33а) и (34а), получаем диадное представление для тензора инерции

(52)

Подставим выражение (52) в формулу (51), тогда получим

(53)

Формула (51) представляет краткую тензорную запись развернутого представления (53).

Найдем теперь центробежный момент инерции для пары новых осей , орты которых и перпендикулярны друг другу, т. е.

По определению центробежный момент инерции равен .

Но , а , поэтому

(54)

Здесь использовано условие ортогональности и и определение единичного тензора . Вспоминая формулу (50) для тензора инерции, получаем окончательно

(55)

Развёрнутый вид формулы (55) получим, произведя фактическое перемножение ортов , и тензора (52): (56)

Дата добавления: 2015-07-17