Проверка гипотезы о существовании тенденции

Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с построения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необходимо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.

Для выявления факта наличия или отсутствия неслучайной составляющей, то есть для проверки гипотезы о существовании тренда:

(.)

можно использовать следующие критерии.

I. Критерий «восходящих и нисходящих» серий

Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера. Согласно этому критерию тенденция определяется по следующему алгоритму:

1. Для исследуемого временного ряда определяется последовательность знаков, исходя из условий

(.)

При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.

2. Подсчитывается число серий . Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией (если подряд идут несколько равных наблюдений, то во внимание принимается одно из них).

3. Определяется протяженность самой длинной серии .

4. По таблице, приведенной ниже, находится значение .

Таблица

Длина ряда,
Значение

5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:

(.)

Квадратные скобки неравенства в (.4) означают целую часть числа.

Пример..

Дана динамика ежеквартального выпуска продукции фирмы в ден. ед. С помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий сделать вывод о присутствии или отсутствии тренда. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

t

y t

Решение. Определим последовательность знаков

t

y t

+

-

+

-

+

-

+

-

-

+

+

+

-

+

+

Число серий , протяженность самой длинной серии , по таблице . Из условия (.4) имеем

Оба неравенства выполняются, поэтому тренд в динамике выпуска продукции фирмы отсутствует с доверительной вероятностью 0,95.

II. Критерий серий, основанный на медиане

Расположим члены анализируемого временного ряда в порядке возрастания .

Выборочная медиана определяется как среднее значение ранжированного ряда наблюдений . Если нечетно, то , а если же четно, то .

Образуем последовательность плюсов и минусов, соответствующую исходному ряду, по правилу: если , то плюс, если , то – минус. Подсчитаем общее число серий и протяженностью самой длинной серии .

Рассмотрим приближенный критерий. Для его построения воспользуемся:

1) - нормальным приближением частного распределения случайной величины ;

2) приближенной оценкой для точки частного распределения случайной величины :

(здесь […] означает целая часть числа).

3) оценками сверху и снизу для вероятности

, .

(здесь - 95%-ная точка частного распределения).

Это позволяет сформулировать следующее приближенное правило:

Если хотя бы одно из неравенств

, ,

(3.)

окажется нарушенным, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , заключенной между 0,05 и 0,0975 (и, следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Пример... Имеются результаты испытаний на долговечность 58 образцов, отобранных в хронологическом порядке из текущей продукции: 38, 33, 29, 16, 44, 21, 16, 17, 19, 1, 22, 28, 22, 14, 7, 13, 21, 15, 34, 23, 15, 19, 32, 24, 14, 13, 22, 8, 30, 11, 15, 24, 26, 14, 11, 25, 17, 10, 19, 5, 6, 16, 7, 10, 1, 5, 2, 8, 14, 14, 15, 16, 13, 11, 9, 11, 19, 21. (Подчеркнуты те выборочные данные, на месте которых в соответствующей последовательности знаков стояли бы плюсы.)

Ряд факторов, от которых существенно зависит качество образцов (сырье, квалификация персонала, сменность и т.п.), подвержен неизбежным колебаниям с течением времени, характер которых может быть как случайным, так и систематическим. Нас будет интересовать, было ли это должным образом учтено при назначении способа отбора образцов, т.е. производился ли отбор так, чтобы результаты наблюдений были бы стохастически независимыми, образовывали бы случайную выборку?

Здесь: ; ; ; .

Так что из двух неравенств (??3.3) лишь одно (первое) оказалось выполненным. Поэтому приходится признать, что результаты наблюдений, представленные выше, не являются стохастически независимыми и обнаруживают временную тенденцию к снижению долговечности.

Дата добавления: 2015-07-17