Цифровой спектральный анализ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ

Минск 2011

Цель работы: Изучить периодограммный метод спектрального анализа на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Цифровой спектральный анализ

Одной из важных областей применения методов цифровой обработки сигналов является спектральный анализ, который позволяет исследовать частотный состав соответствующих сигналов.

Графики зависимости амплитуды и фазы гармонических составляющих от частоты в большинстве случаев более удачно представляют данные или сигналы и, особенно, в тех случаях, когда обрабатываемые сигналы имеют случайную природу. Выбирая определенные гармоники и отбрасывая другие, можно существенным образом сжать полученные данные. Спектральный анализ оказался весьма полезным в таких областях, как техника связи, обработка биологических сигналов и метеорологических данных, радиолокация, управление технологическими процессами и измерение спектра шума при разработке оптимальных линейных фильтров.

В качестве определения спектральной плотности мощности рассмотрим преобразование Фурье усеченной реализации исследуемого сигнала x(t) т. е.

(1)

где

(2)

(3)

М – оператор статистического усреднения.

Из данного определения оценка спектральной плотности мощности может быть получена в следующем виде:

(4)

Основные свойства этой оценки:

(5)

т. е. данная оценка является асимптотически несмещенной.

Можно показать, что дисперсия периодограммы, определяемой вы­ра­же­нием (4), для больших значений T становится равной

(6)

Это значит, что асимптотически несмещенная оценка является несостоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности. Другими словами, средняя квадратическая погрешность данной оценки равна 1 или 100 %. Это значит, что при больших значениях T эмпирическая периодограмма будет крайне нерегулярной функцией частоты w: ее значение будет резко изменяться при незначительном изменении аргумента, беспорядочно флуктируя около среднего значения (мало отличающегося от истинной спектральной плотности

Для получения эффективных оценок применяются методы сглаживания (усреднения). В этом случае для получения правильных результатов при измерении необходимо перейти от вычисления точечной оценки к усреднению по множеству таких оценок. На практике в связи с этим возникают существенные трудности, обусловленные тем, что усреднять по множеству можно далеко не всегда. Как правило, экспериментатор располагает всего лишь одной или, в лучшем случае, двумя-тремя реализациями исследуемого процесса. Преодолеть возникшие трудности можно воспользовавшись некоторыми свойствами самой функции Во-первых, она является случайной функцией частоты. При этом интервал корреляции по частоте составляет величину, примерно равную При случайные величины и с увеличением интервала Т становятся все менее и менее коррелированными, т. е.

(7)

Это обстоятельство и лежит в основе получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности: путем сглаживания (усреднения) оценки по сравнительно небольшому интервалу частот может быть получена оценка с убывающей дисперсией, хотя и с некоторым смещением (рис. 1).

(8)

0 M w_i M w

Рис. 1. Иллюстрация
сглаживания по частоте

Кроме того, для этой же цели применяется и усреднение по коротким периодограммам. В этом случае исходная реализация исследуемого сиг­нала x(t) длительностью T делится на более короткие реализации x_i(t) длительностью По каждой реализации x_i(t) находится оценка спектральной плотности, а затем вычисляется их сред­нее арифметическое, что позволяет уменьшить дисперсию результирующей оценки в М раз (рис. 2).

(9)

Рис. 2. Иллюстрация сглаживания
по коротким реализациям

Измерение (оценка) спектра мощности (энергетического спектра) дает возможность, например, получить информацию о динамических характеристиках линейных физических систем с постоянными параметрами, позволяет исследовать соотношение между процессами на входе и выходе таких систем, обнаруживать скрытые периодичности и т. д.

В теоретических исследованиях принято чаще всего говорить об оцен­ке спектра или спектральном оценивании. Интенсивное развитие цифровых методов обработки сигналов в значительной степени расширило сфе­ру приложения спектральных методов и привело к возникновению целого направления, известного в настоящее время под общим названием цифровой спектральный анализ.

В этой связи следует еще раз отметить, что именно алгоритмы БПФ, более чем какие-либо другие методы, существенно расширили область применения спектрального анализа как средства обработки сигналов. Быстрые алгоритмы сделали возможным практическое осуществление многих методов спектрального оценивания в реальном времени и привели к тому, что в настоящее время в спектральном анализе используются оценки спектральной плотности мощности, основанные на прямом преобразовании Фурье исходных данных и последующем их усреднении. Этот метод чаще всего называют методом периодограммной оценки спектра мощности.

Для того, чтобы по отсчетам обрабатываемого сигнала можно было бы получать спектральные оценки в соответствующих единицах энергии или мощности, необходимо выражение для прямого ДПФ умножить, а для обратного ДПФ разделить на интервал дискретизации t:

(10)

(11)

где – интервал наблюдения (длительность обрабатываемой реализации).

В этом случае оценка спектральной плотности мощности будет определяться следующим образом:

(12)

где

Эту оценку называют выборочным спектром, или периодограммой Шустера (по фамилии английского физика, который в конце XIX столетия впервые ввел понятие периодограммы).

Данная оценка также не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности (СПМ), так как дисперсия этой величины не стремится к нулю ни при каком сколь угодно большом значении N. Вследствие этого для получения состоятельных оценок требуется выполнение операции статистического усреднения. В этом случае будем иметь

(13)

Для расчетов используется выражение

(14)

которое называют исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ.

Для сглаживания периодограммной оценки используются три основных метода: метод Даньелла, Бартлетта и Уэлча. В методе Даньелла осуществляется усреднение оценок, полученных по соседним частотам (усреднение по смежным частотам), Бартлетта – по ансамблю (по коротким временным последовательностям), а в методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся реализациям для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.

Практическое использование этих трех процедур подтверждает их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.

Периодограмма Даньелла. Для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спек­тра в этом случае используется усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра на сетке частот используется алгоритм БПФ, то сглаженная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения М значений с каждой стороны этой частоты:

(15)

Вычисление оценки по Даньеллу рекомендуется для случаев, когда анализируемое мно­жество данных состоит из малого (100–500) или среднего (500–4000) числа выборок.

Периодограмма Бартлетта. При этом подходе последовательность входных данных х(п) из N отсчетов делится на K неперекрывающихся сегментов по М отсчетов в каждом, так что (рис. 3).

... ...

Рис. 3. К иллюстрации периодограммы Бартлетта

Тогда i -й сегмент будет определяться таким образом:

(16)

Затем на каждом из этих сегментов независимо вычисляется выборочный спектр

(17)

Далее на каждой частоте, представляющей интерес, K отдельных немодифицированных периодограмм усредняются с тем, чтобы получить усредненную периодограмму Бартлетта.

(18)

Дисперсия рассмотренной оценки уменьшается с увеличением числа K, а величина смещения – увеличивается, так как при фиксированной выборке N с увеличением числа сегментов число выборок М в каждом из них уменьшается. Это приводит к ухудшению разрешающей способности спектрального анализа, так что приходиться находить компромиссное решение между значениями N и М. Конкретный выбор М и N при измерении спектра, как правило, определяется априорными сведениями о сиг­нале. Если, например, известно, что в спектре присутствует узкий пик и его необходимо выделить, то нужно выбрать М достаточно большим для получения необходимой разрешающей способности.

Данная оценка применяется при N > 2000.

Периодограмма Уэлча. Уэлч модифицировал основную схему Бартлетта за счет использования перекрывающихся сегментов (рис. 4). Цель перекрытия– увеличить число усредняемых оценок спектральной плотности мощности при заданной длительности исходной реализации и тем самым уменьшить дисперсию результирующей оценки.

Рис. 4. Формирование периодограммы Уэлча

На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру для реализации данного метода, что и сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания.

Если выборка из N отсчетов разбита на К сегментов по М отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами то максимальное число сегментов К будет определяться целой частью числа (N – S)/(M - S).

Например, 50 %-е перекрытие сегментов во многих случаях обеспечивает весьма эффективную реализацию данного метода на основе алгоритмов БПФ. Кроме того, в этом случае все данные используются дважды, за исключением М/2 отсчетов на каждом конце исходной N -точечной последовательности данных. Следует отметить, что на практике часто используется перекрытие до 70 %.

Также как и дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодограммы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегментов в предположении независимости сегментов (хотя перекрытие сегментов приводит к некоторой их взаимозависимости). Благодаря перекрытию по заданной выборке исходных данных можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, что уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.

1.1. Просачивание спектральных составляющих
и размывание спектра

Одна из важных проблем, которая является общей для всех классических методов спектрального анализа, связана с применением функций окна. Обработка с помощью окон (взвешивание) используется для управ­ления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках.

Боковые лепестки в спектре появляются вследствие конечной (усеченной) выборки входных данных. Усечение данных можно рассматривать как умножение исходной бесконечной последовательности на пря­моугольную последовательность (окно)

(19)

Например, последовательность обрабатываемых данных из N отсчетов можно записать как произведение бесконечной последовательности и функции

(20)

Дискретное преобразование Фурье последовательности как известно, будет рав­но свертке ДПФ исходной последовательности и ДПФ последовательности

(21)

где функция

(22)

часто называется ядром Дирихле или дискретной функцией sinc(x) (вида ).

ДПФ обрабатываемой конечной последовательности является искаженным преобразованием бесконечной последовательности. Рассмотрим влияние прямоугольного окна на дискретизированную синусоиду с частотой f₀ в следующих двух ситуациях. В первом случае соотношение между частотой дискретизации и частотой входного синусоидального сигнала таково, что в выборке содержится в точности целое число периодов синусоидального сигнала. ДПФ предполагает, что выборка повторяется бесконечное число раз до и после исследуемого фрагмента сигнала, формируя таким образом бесконечный непрерывный периодический сигнал, как показано на рис. 5. При таких условиях входной сигнал представляет собой непрерывную синусоидальную функцию, и на выходе ДПФ будет один ненулевой частотный отсчет, соответствующий частоте входного сигнала.

t

	f 0

Рис. 5 ДПФ синусоидального сигнала
с целым числом периодов в выборке

Во втором случае (рис. 6), когда в выборке нет целого числа периодов синусоидального сигнала, острые пики бесконечной синусоидальной последовательности рас­ши­рились за счет воздействия преобразования Фурье прямоугольного окна, имеющего вид функции которая уже не локализирована на частной оси и имеет множество дополнительных боковых лепестков. Из представленного рисунка также видно, что первый боковой лепесток только на 13 дБ ниже основного, и что боковые лепестки имеют спад 6дБ/октаву.

Боковые лепестки преобразования, часто называемые просачиванием спектральных составляющих, изменяют амплитуду соседних спектральных составляющих. Такой эффект будет иметь место для каждой частотной компоненты, так что амплитудный спектр сложного сигнала будет искажен из-за перекрестного сложения и вычитания большого числа боковых и главных лепестков частотного спектра прямоугольной функции.

Рис. 6. ДПФ синусоидального сигнала
с нецелым числом периодов в выборке

Просачивание приводит не только к появлению амплитудных погрешностей в спектре дискретных сигналов, но может также маскировать (скрывать) присутствие слабых сигналов и, следовательно, препятствовать их обнаружению.

Кроме того, поскольку ДПФ – периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних спектральных пиков может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты дискретизации позволяет ослабить эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.

Из приведенного рисунка также видно, что минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности ограничена шириной, определяемой главным ле­пестком преобразования данного окна, и не зависит от исходных данных. Другими словами, конечная длительность обрабатываемой последовательности существенным образом влияет на разрешающую способность спектрального анализа.

Для уменьшения боковых лепестков используются оконные функции с более сложной формой, чем прямоугольная. Отсчеты входной последовательности умножаются на соответствующую функцию окна, что влечет за собой обнуление значений сигнала на краях выборки, как показано на рис. 7. Можно считать, что воздействие окна на массив входных данных состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 7.

Уменьшения порядка разрыва на границе добиваются, согласуя на границе периодического продолжения возможно большее число производных взвешенных данных. Проще всего обеспечить такое согласование, сделав эти производные равными нулю или, по крайней мере, близкими нулю. Из рис. 8 видно, что вблизи границ интервала взвешивания периодическое продолжение исходного сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высших порядков.

Рис. 7. Взвешивание с использованием функции окна,
отличной от прямоугольного

Рис. 8. Взвешивание с помощью окна

Чтобы минимизировать просачивание спектральных составляющих, ве­совая функция выбирается с минимальным уровнем боковых лепестков. К сожалению, это приводит к увеличению ширины главного лепестка, так что он расширяется на соседние боковые лепестки (происходит наложение). Данный эффект имеет место для всех гармоник и общий результат – наложение спектра сигнала или его размывание. Таким образом, весовые функции и их параметры следует тщательно выбирать с тем, чтобы добиться оптимального соотношения между разрешением по частоте (из-за расширения главного лепестка оконной функции) и статистической точностью оценки.

Дата добавления: 2015-07-17