Критические значения показателя неоднородности Qкp для доверительной вероятности 0,95 в зависимости от числа измерений

n
Q кp	0,941	0,765	0,642	0,560	0,468	0,412	0,300	0,260

2). Проверка гипотезы о неоднородности дисперсий. Во многих статистических задачах приходится сравнивать между собой дисперсии двух или нескольких выборок. Например, в дисперсионном анализе при сравнении точности (доверительных интервалов) при изготовлении деталей по двум разным технологиям вычисляют и сравнивают дисперсии представительных выборок деталей, произведенных по этим технологиям. Сравнение дисперсий широко применяется также в регрессионном анализе активных планируемых многофакторных экспериментов (см. главу 3).

При очень большом количестве измерений в каждой выборке равенство их дисперсий признается в том случае, когда экспериментальное найденное F -отношение равно единице

F = S ₁²/ S ₂² = σ₁²/σ₂² = 1. (23)

Если уменьшать количество измерений в выборках числителя (n ₁) и знаменателя (n ₂), то достоверность приведенного утверждения (23) будет снижаться, причем, если большая из дисперсий (при неравенстве дисперсий) всегда будет располагаться в числителе, то F -отношение будет больше или равно 1. При этом дисперсии можно считать с достаточной надежностью разными только при значительном их неравенстве, когда F -отношение (критерий Фишера) будет существенно больше 1. В табл. 5 приведены табличные значения критерия Фишера F ^табл, которые определяются заданной надежностью α (α = 0,95) и числами степеней свободы экспериментальных выборок f ₁= n ₁ – 1 и f ₂ = n ₂ – 1. Из табл. 5 видно, что с уменьшением числа f ₂ числовые значения F ^табл возрастают при любых f ₁.

Таким образом, если экспериментально найденное значение F -отношения выше табличного показателя Фишера

F > F ^табл(α, f ₁, f ₂), (24)

то с вероятностью α дисперсии выборок отличаются (дисперсии неоднородны).

И, наоборот, при F < F ^табл нет оснований считать, что сравниваемые дисперсии статистически различны. Это вовсе не значит, что они равны, хотя во многих статистических задачах неравенство F < F ^табл свидетельствует о равнозначности (однородности) сравниваемых дисперсий.

Когда приходится сравнивать несколько дисперсий между собой, то пользуются критерием Кохрана, который здесь не рассматривается, так как всегда имеется возможность попарного сравнения дисперсий по критерию Фишера.

Таблица 5

Табличные значения критерия Фишера F ^табл(f ₁, f ₂) для доверительной вероятности α = 0,95 в зависимости от числа степеней свободы f ₁ и f ₂

f 2	F ^табл(f 1, f 2) при f 1
	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4
	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7
	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9
	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7
	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0
	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7

3). Проверка гипотезы о неоднородности выборочных средних. Иногда после расположения экспериментальных данных z_i в виде упорядоченного ряда оказывается, что между двумя соседними промежуточными значениями имеется большой разрыв. В этом случае группы данных, расположенных по обе стороны от разрыва, можно рассматривать как две выборки с разной эффективностью случайной величины (исходная гипотеза), либо как принадлежащие к одной группе исследований, и их полезно соединить в одну выборку (конкурирующая гипотеза). Проверку гипотез можно осуществить с использованием метода сравнения средних значений двух выборок z _1ср и z _2ср. Такая проверка правомерна в том случае, когда дисперсии этих выборок однородны, то есть критерий Фишера меньше табличного значения.

Средние z _1ср и z _2ср следует признать различными, если они не укладываются в единый доверительный интервал ± t (α, f) ∙S_z/√n, где t (α, f) – коэффициент Стьюдента. Поэтому неоднородность выборочных средних обнаруживается с помощью t -критерия (критерия Cтьюдента):

___ _____________

t = [(| z _1ср – z _2ср|)/√ S²_n ]·√(n ₁∙ n ₂)/(n ₁ + n ₂) > t _кр(α, f), (25)

где t – экспериментально определяемое значение коэффициента Стьюдента; S ² _n – средневзвешенная дисперсия воспроизводимости, вычисляемая по формуле: S_n ² = [(n ₁ – 1) S_{z 1} ² + [(n ₂ – 1) S_{z 2} ² ]/ f; S_{z 1} ² и S_{z 2} ² – дисперсии первой и второй выборок, n ₁, n ₂ – число опытов в выборках, f = n ₁ + n ₂ – 2 – общее число степеней свободы выборок; t _кр(α, f) – критическое (табличное) значение коэффициента Стьюдента, которое при заданной доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы f,выбирается по табл. 2. Выполнение неравенства (25) означает, что выборочные средние z _1ср и z _2ср являются оценками различных математических ожиданий.

При t < t _кр исходную гипотезу бракуют, то есть принимают утверждение, что оба средних арифметических принадлежат к одной группе исследований (к единой выборке – с более узким доверительным интервалом по сравнению с отдельными выборками).

4). Проверка гипотезы об отсутствии значимого различия между экспериментально найденной (случайной) величиной и теоретически рассчитанной (постоянной) величиной. Данная задача является частным случаем задачи о неоднородности (или однородности) выборочных средних, широко встречается, например, при экспериментальной проверке какой-либо физико-химической характеристики, вычисленной теоретически (а), или при экспериментальном определении параметра математической модели, и сводится к сравнению числового значения выборочного среднего z _ср с числовым значением постоянной величины а.

В этом случае исследователь будет иметь (в отличие от предыдущей задачи) только одно выборочное среднее (z _ср) и одну выборочную дисперсию (S_z²). Поэтому, значение постоянной величины а находит экспериментальное подтверждение, если выполняется неравенство, аналогичное t -критерию (25)

t = [(| z _ср – а |)/√ S_z² ]·√ n < t _кр(α, f), (26)

И, наоборот, при t > t _кр можно утверждать, что теоретически рассчитанное значение величины а не находит экспериментального подтверждения.

5). Проверка гипотезы о наличии систематического смещения результата измерения во времени или под воздействием иного (неизученного) фактора. Исследователю иногда приходится сталкиваться с тем, что с течением временем или под влиянием неизвестных (еще не изученных) факторов происходит смещение результата измерения (выборочного среднего) или возникает необходимость проверить, имеет ли место в действительности воздействие того или иного фактора на процесс. Такую статистическую задачу можно решить с помощью V -критерия Аббе.

Перед выполнением расчетов результаты пассивного эксперимента располагают в ряд во времени или в порядке возрастания (убывания) исследуемого фактора, а затем для выявления наличия систематического смещения результата измерения применяют критерий Аббе

n n

V = [∑(z_i – z_{i +1})²]/[2∑(z_i – z _ср)²] < V _кр(α, n), (27)

i =1 i =1

где V – экспериментальный показатель смещения результата измерения, z_i – результат измерения; V _кр – критическое (табличное) значение показателя Аббе, которое выбирают в зависимости от числа измерений n и заданной вероятности (надежности) α. При α = 0,95 значения V _кр приведены в таблице 6.

Если V<V _кp, топринимают исходную гипотезу о существовании смещения результата измерения во времени или под воздействием фактора. Если V>V _кp, то исходную гипотезу бракуют, то есть принимают утверждение, что систематическое смещение результата измерения во времени или под воздействием фактора не происходит.

Таблица 6

Дата добавления: 2015-07-16