Проверка статистических гипотез. (Из учебного пособия В.В

(Из учебного пособия В.В. Маслов «Математическое планирование и статистическая обработка результатов экспериментов»)

Решение многих научно-исследовательских задач осуществляют путем выдвижения соответствующих гипотез и последующей их экспериментальной проверки. Например, в области химии и химической технологии такими гипотезами могут быть предположения о составе химического соединения, о содержании тех или иных компонентов в растворе, возможности получения продукта при удовлетворительных технико-экономических показателях, характере влияния различных факторов на результат пассивного эксперимента и т. д.

При экспериментальной проверке гипотез всегда необходимо учитывать тот факт, что опытные данные являются случайными величинами. Поэтому гипотезы, сформулированные на языке данной науки, целесообразно перевести на язык математической статистики, то есть сформулировать как статистические гипотезы. Это дает возможность привлечь для решения исследовательской задачи весь арсенал методов математической статистики, что, в свою очередь, значительно повышает надежность полученных результатов.

Статистической гипотезой называют любое предположение о свойствах генеральной совокупности значений случайной величины. Выдвигаемые гипотезы подразделяют на исходную гипотезу и конкурирующие (альтернативные). После выдвижения гипотез выбирают критерий или правило (в виде неравенства), которое определяет методику их экспериментальной проверки. Если исходная гипотеза отвергается, то при наличии только одной конкурирующей гипотезы ее обычно принимают без дополнительной проверки. При наличии нескольких конкурирующих гипотез необходимо дополнительное исследование.

Проверку статистических гипотез осуществляют методом сравнения выбранного показателя (например θ), полученного из эксперимента, с соответствующим критическим (предельным, табличным) значением этого показателя (заданной надежности α), относящегося к тому же распределению (например, θ_кр). На основе этого сравнения принимают или отбрасывают исходную гипотезу.

Рассмотрим несколько задач по проверке статистических гипотез, которые наиболее часто встречаются в экспериментальных исследованиях.

1). Проверка гипотезы о наличии промаха в экспериментальной выборке. Среди числовых значений измеренной величины z_i могут быть такие, которые не укладываются в ряд с другими экспериментальными данными (резко выделяются) и подозреваются как промахи z *. Верным средством выявления промахов является проверка исправности приборов, измерительного инструмента, установки и условий проведения измерений. Если в результате такой проверки недостатков не обнаружено, то необходимо использовать статистические методы выявления промахов. В любом случае обнаруженные промахи следует исключать из выборки, так как они сильно искажают статистические характеристики измеряемой величины.

Если число измерений велико (n →∞), то всякое i -е измерение, выходящее за пределы доверительного интервала (z ± t _α∙ S) с вероятностью 95 % является промахом.

С уменьшением числа измерений n уменьшается уверенность в том, что выпадающее из доверительного интервала значение будет промахом. В этом случае наличие промаха обнаруживается с помощью θ - критерия (критерия совместимости):

_______

θ = (| z * – z _ср|)/ S ·√(n – 1)/ n > θ _max (α, n), (21)

где θ – экспериментальный показатель совместимости, z * – одно из измеренных значений, подозреваемое как промах (минимальное, либо максимальное в ряду измерений); θ _max – предельное значение показателя совместимости, зависящего от числа измерений n и заданной вероятности (надежности) α. При α = 0,95 значения θ _max приведены в таблице 3.

Выполнение неравенства (21) означает, что подозреваемое значение z * следует признать промахом. После исключения промаха из серии измерений по оставшимся n измерениям вычисляют статистические характеристики (выборочное среднее z и выборочное СКО S_{z ср}) и доверительный интервал для среднего (±∆ z = t (α, f) ∙S_{z ср}).

Таблица 3

Дата добавления: 2015-07-16