Закон больших чисел

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд теорем, в каждой из которых для некоторых условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным величинам.

Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий ,

т.е. ,

где – любое, сколь угодно малое положительное число.

Замечание. Сходимость по вероятности означает, что выполнение неравенства , где (случайная величина), (неслучайное число), при достаточно больших является событием практически достоверным, а выполнение неравенства – практически невозможным событием.

Таким образом, при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя (величина случайная) как угодно мало отличается от неслучайной величины , т.е. практически перестает быть случайной.

Теорема Бернулли. Частость (относительная частота) события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к вероятности этого события в отдельном испытании,

т.е. .

Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частостью (статистической вероятностью), полученной в повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Теорема Пуассона. Частость (относительная частота) события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях,

т.е. .

Таким образом, под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Дата добавления: 2015-07-15