Нормальный закон распределения

Лекционные материалы

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой.Нормальная кривая имеет следующий вид:

Она симметрична относительно прямой ; имеет максимум в точке , равный ; имеет две точки перегиба и , причем .

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т.е. М(X)= ,

а ее дисперсия равна , т.е. D(Х)= .

Таким образом, параметры нормального закона имеют следующий смысл:

– математическое ожидание случайной величины,

– ее среднеквадратическое отклонение.

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров и .

1) Пусть , – меняется, т.е. .

В этом случае нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы

2) Пусть , – меняется, т.е. .

В этом случае меняется ордината максимума , при этом кривая растягивается или сжимается (т.к. площадь под кривой распределения должна оставаться равной единице).

Определение. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

График функции распределения случайной величины X (распределенной по нормальному закону) имеет вид:

1

0,5

0

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа* по формуле:

Дата добавления: 2015-07-15