Интегрирование рациональных функций

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, то есть отношения двух многочленов

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знамена-теле

Рациональная дробь называется неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь - многочлен, правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

I.

II.

III. ( не имеет действительных корней)

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

то дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Для определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следующем:

В правой части разложения рациональной дроби простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен , после чего знаменатель в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен , а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях, стоящих в левой и правой частях тождества, получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов .

Например:

Найти интеграл

Подынтегральная функция в данном случае представляет собой неправильную дробь. Поэтому сначала представим её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого поделим многочлен на многочлен:

Будем иметь:

Далее воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и разложим правильную дробь на сумму простейших дробей:

Приводим дроби к общему знаменателю и, отбросив его, получаем

Откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

Отсюда A= -1, B=1

Окончательно имеем

Следовательно

Пример 2

Напишем разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей:

Приводим дроби к общему знаменателю и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид

Дата добавления: 2015-07-15